【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题05 二次函数的最值问题专训（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 3.03MB 69 页 5积分
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专题 05 二次函数的最值问题专训
【精选最新 40 道二次函数的最值问题专训】
1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数 的图象经过点 ,，在 范围内有
最大值为 4，最小值为 ，则 a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为 ，由于当 时，
，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是 .
【详解】解：∵二次函数 的图象经过点 ,，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式是 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴当 时，抛物线有最大值 4，
由于当 时， ，且在 范围内有最大值为 4，最小值为 ，
∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是 ；
故选：C.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练
掌握抛物线的相关知识是解题关键.
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，下
列说法项正确的是（）
A．若 ，函数有最大值 5 B．若 ，函数有最小值 5
C．若 ，函数有最小值 1 D．若 ，函数无最大值
【答案】C
【分析】根据题意可得该函数的对称轴和开口方向，然后根据 ，寻找相应的最大值和最小值即可
解答．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴是直线 ，函数图像开口向上，
∵
∴当 时，无法确定最大值，即 A选项不符合题意；
当 时，函数有最小值 1，即 B选项不符合题意；
当 时，函数有最小值 1，即 C选项符合题意；
当 时， 时，函数有最大值 5，即 D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活运用二次函数的性质求最值是
解答本题的关键．
3．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知抛物线 与抛物线 关于直线
对称，当 时，抛物线 的最大值为（）
A．6 B．12 C．21 D．42
【答案】A
【分析】首先将抛物线 转化为顶点式求出顶点坐标，然后根据题意求出抛物线 的顶点坐标，进而得到
抛物线 的表达式，然后根据抛物线的图象和性质求解即可．
【详解】∵抛物线 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∵抛物线 与抛物线 关于直线 对称，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∴抛物线 的表达式为 ，
∵，
∴抛物线 的图象开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当 时，抛物线 有最大值 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正确求出抛物线 的解析式是解题的关键．
4．（2023 秋·重庆沙坪坝·九年级统考期末）将多项式 记为 ，即 ．
例如：若 ，则 ．下列判断：① ；②若 ，则
或3；③若 恒成立，则 m的取值范围是 ．其中正确个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用 可判断①；由 可得 ，解方程可判断②；根据
恒成立可推导出 恒大于 0，由此可判断③．
【详解】解：由 可得：
，故①正确；
若 ，则 ，解得 或 3，故②正确；
若 恒成立，则 恒成立，即 恒成立，
因此 恒大于 0，
可得 ，解得 ，故③正确；
综上可知，正确个数为 3．
故选 D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、解一元二次方程、求二次函数的最值、解不等式等，判断③有一定难
度，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
5．（2023 春·安徽蚌埠·九年级专题练习）如图，在菱形 中， ， ，矩形 的四个
顶点分别在菱形的四边上， ，则矩形 的最大面积为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，连接 AC，交 于点 E，根据菱形的性质，
矩形的性质，勾股定理计算 ，设矩形 的面积为 S，构造二次函数
，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】设 ，
因为四边形 是菱形， ， ，
所以 ，
连接 AC，交 于点 E，
因为四边形 是菱形，四边形 是矩形， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以
设矩形 的面积为 S，
所以 ，
所以当 x=3 时，S的面积最大，最大值为 ，
故选 D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，二次函数的最值，熟
练掌握菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·内蒙古包头·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点 P的横坐标和纵坐标相等，则称点 P为雅系
点．已知二次函数 的图象上有且只有一个雅系点 ，且当 时，函数
的最小值为－6，最大值为－2，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据雅系点的概念令 ax2-4x+c=x，即 ax2-5x+c=0，由题意，△=（-5）2-4ac=0，即 4ac=25，方程的
根为 ，从而求得 a=-1，c=- ，所以函数 y=ax2-4x+c+ =-x2-4x-6，根据函数解析式求得顶点坐标
与纵坐标的交点坐标，根据 y的取值，即可确定 x的取值范围．
【详解】解：令 ax2-4x+c=x，即 ax2-5x+c=0，
由题意， =（-5）2-4ac=0，即 4ac=25，
又方程的根为 ，
解得 a=-1，c=- ，
故函数 y=ax2-4x+c+ =-x2-4x-6，
∵y=-x2-4x-6=-（x+2）2-2，
∴函数图象开口向下，顶点为（-2，-2），与 y轴交点为（0，-6），由对称性，该函数图象也经过点（-
4，-6）．
由于函数图象在对称轴 x=-2 左侧 y随x的增大而增大，在对称轴右侧 y随x的增大而减小，且当 0≤x≤m时，
函数 y=-x2-4x-6 的最小值为-6，最大值为-2，
-4≤∴m≤-2，
故选：C．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别
式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
7．（2023·福建三明·校联考二模）已知二次函数 （ 是常数，且 ）的最大值为
，且该二次函数图像经过点 ， 两点，则 的值可能是()
A．B．C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据题意，得到二次函数 的对称轴为 ，图像开口向下；再由二次函数图像经
过点 ， 两点，得到 ，从而由二次函数增减性知 到对称轴距离
比到对称轴距离近，列不等式求解即可得到答案．
【详解】解： 二次函数 （ 是常数，且 ）的最大值为 ，
当 时有 ，即二次函数 的对称轴为 ，图像开口向下，
二次函数图像经过点 ， 两点，
摘要：

专题05二次函数的最值问题专训【精选最新40道二次函数的最值问题专训】1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为，由于当时，，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是.【详解】解：∵二次函数的图象经过点,，∴，解得，∴抛物线的解析式是，∴抛物线的顶点坐标为，∴当时，抛物线有最大值4，由于当时，，且在范围内有最大值为4，最小值为，∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是；故选：C.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的...

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