【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题04 反比例函数重难点题型专训（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 4.5MB 95 页 5积分
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专题 04 反比例函数重难点题型专训
【题型目录】
题型一 根据定义判断是否是反比例函数
题型二 用反比例函数描述数量关系
题型三 根据反比例函数的定义求参数
题型四 求反比例函数值
题型五 由反比例函数值求自变量
题型六 求反比例函数的解析式
题型七 判断反比例函数的图象
题型八 已知反比例函数的增减性求参数
题型九 反比例函数的 k值意义
题型十 实际问题与反比例函数
题型十一 一次函数与反比例函数的图象综合判断
题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题
题型十三 一次函数与反比例函数综合
题型十四 反比例函数与几何综合
【知识梳理】
知识点一、反比例函数的概念
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
特别说明：在 中，自变量 的取值范围是 ， ( )可以写成 ( )的
形式，也可以写成 的形式.
知识点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此
只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
知识点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、
四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 轴、 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近
坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
特别说明：
观察反比例函数 的图象可得：
y=k
x(k≠0)
和
y=k
x(k≠0)
的值都不能为 0，并且图象既是轴对称图形，又是
中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①
y=k
x(k≠0)
的图象是轴对称图形，对称轴为
y=x y和=−x
两条直线；
②
y=k
x(k≠0)
的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③
y=k
xy和=− k
x
(k≠0)在同一坐标系中的图象关于 轴对称，也关于 轴对称.
注：正比例函数
y=k1x
与反比例函数
，
当
k1
⋅k2<0
时，两图象没有交点；当
k1
⋅k2>0
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成
中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
　　当 时， 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小；当 时，
异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增大.
（2）若点( )在反比例函数 的图象上，则点（ ）也在此图象上，故反比例函数的图象关
于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
　 正比例函数 反比例函数
解析式
图像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
位置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
， 随 的增大而增大
， 随 的增大而减小
，在每个象限， 随 的增大而减小
，在每个象限， 随 的增大而增大
（4）反比例函数 y＝ 中 的意义
① 过双曲线 ( ≠0)上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
② 过双曲线 ( ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
知识点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题
转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
【经典例题一 根据定义判断是否是反比例函数】
【例 1】（2023 春·北京东城·八年级景山学校校考期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为 20，矩形的面积 y与一边长 x；
②矩形的面积为 20，矩形的宽 y与矩形的长 x．
其中变量 y与变量 x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
【答案】B
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为 20，一边长 x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为 20，矩形的长 x
∴是反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题
的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·模拟预测）在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率 f（单位：Hz）满足函数关系：
，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　）
A．波长是频率的正比例函数 B．波长为 m时，频率为Hz
C．波长大于 m时，频率大于 Hz D．波长小于 m时，频率大于 Hz
【答案】D
【分析】根据正比例函数和反比例函数的概念及性质分析即可．
【详解】解：A、 ，
，
波长是频率的反比例函数，故此选项错误，不符合题意；
B、 ，让，
，故此选项错误，不符合题意；
C、 ，让，
，波长大于 时，频率小于 Hz，故此选项错误，不符合题意；
D、 ，让，
，波长小于 时，频率大于 Hz，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例和反比例函数的概念、反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性
质得应用．
2．（2023 春·江苏·八年级专题练习）下列函数，① ②. ③ .④ ⑤
⑥ ；其中是 y关于 x的反比例函数的有： ．
【答案】④⑥．
【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.
【详解】① x（y+2）=1，可化为 y= ，不是反比例函数；
②，y与（x+1）成反比例关系；
③ 是y关于 x2的反比例函数；
④符合反比例函数的定义，是反比例函数；
⑤是正比例函数；
⑥符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为④⑥．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.
3．（2023 春·浙江·八年级专题练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出
它们的比例系数．
(1)火车从石家庄驶往相距约 的北京，若火车的平均速度为 ，求火车距石家庄的距离
与行驶的时间 之间的函数关系式．
(2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤 ，共烧了 y天，求 y与x之间的函数关系式．
(3)一个游泳池容积为 ，注满游泳池所用的时间 随注水速度 x的变化而变化，求 y与
x之间的函数关系式．
【答案】(1) ，是正比例函数，比例系数为
摘要：

专题04反比例函数重难点题型专训【题型目录】题型一根据定义判断是否是反比例函数题型二用反比例函数描述数量关系题型三根据反比例函数的定义求参数题型四求反比例函数值题型五由反比例函数值求自变量题型六求反比例函数的解析式题型七判断反比例函数的图象题型八已知反比例函数的增减性求参数题型九反比例函数的k值意义题型十实际问题与反比例函数题型十一一次函数与反比例函数的图象综合判断题型十二一次函数与反比例函数的交点问题题型十三一次函数与反比例函数综合题型十四反比例函数与几何综合【知识梳理】知识点一、反比例函数的概念一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的...

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