【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题03 二次函数的应用重难点题型专训（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 3.91MB 72 页 5积分
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专题 03 二次函数的应用重难点题型专训
【题型目录】
题型一 图形面积与周长问题
题型二 图形运动问题
题型三 拱桥问题
题型四 销售问题
题型五 投球问题
题型六 喷水问题
题型七 增长率问题
题型八 其他问题
【知识梳理】
知识点：二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系
(即函数关系)。
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。
6.写出答案。
【经典例题一 图形面积与周长问题】
【例 1】（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线 与 轴交于 A，B两点，P为抛物线顶点，
且当 时，y随 的增大而减小，若△ABP 为等边三角形，则 的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将抛物线表达式分别转化为两点式和顶点式，得到 A（-1，0）、B（5，0）及顶点 P（2，-9a）；
过点 P作 与点 H，结合等边三角形的性质，可知 ， ，利用勾股定理计算 PH 的值，
再由 计算 a值即可．
【详解】解：∵ ，
令 ，解得 ， ，
即A（-1，0）、B（5，0）；
∵，
∴其顶点坐标为（2，-9a），对称轴为 ，
∵当 时，y随 的增大而减小，
∴抛物线开口向上，即 ，
∵△ABP 为等边三角形，
∴，
如图，过点 P作 与点 H，则 ，
在 中， ，
又∵ ，即 （ ），
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与实际问题（图形问题）、等边三角形的性质以及勾股定理的知识，解
题关键是准确作出图形并运用数形结合的思想分析问题．
【变式训练】
1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，利用一个直角墙角修建一个 的四边形储料场
，其中 ．若新建墙 与 总长为 ，则该储料场 的最大面积是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先添加辅助线，把直角梯形分成矩形和含 直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯
形面积公式得出面积 与 之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【详解】如图，过点 作 于点 ，易得：四边形 为矩形，

∴，
，
设 ，
∴， ，
∴， ，
则四边形 的面积为：
，
整理得： ，
∴当 长为 时，储料场 的面积最大为 ．
故选： ．
【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运
用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·统考二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长 ， ，
抛物线的最高点 E到BC 的距离为 ．在该抛物线与 之间的区域内装有一扇矩形窗户 ，点
G、H在边 上，点 F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若 ，则矩形窗户的
宽的长为______m．

【答案】 /
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，设 ，求出 ，即可得到矩形窗户的宽的长．
【详解】解：由题意可知， 、 、 ，
设抛物线解析式为 ，
，解得：
抛物线解析式为 ，
点G、H在边 上，且 ，
、 ，
四边形 是矩形，
设 ，
点 在抛物线上，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质等知识，求出
二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
3．（2023·湖北武汉·统考二模）某开发商计划对某商业街一面 米 米的正方形墙面 进行如图所示
的设计装修．四周是由八个全等的矩形拼接而成，用甲类材料装修，每平方米 550 元；中心区是正方形
，用乙类材料装修．每平方米 500 元．设小矩形的较短边 的长为 x米，装修材料的总费用为 y
元．
(1)写出总费用y关于 x的函数解析式；
(2)开发商打算花费 34400 元全部用来购买甲、乙两类材料，求甲类材料中矩形的长和宽；
(3)在（2）的花费前提下．设计中心区 作为广告区域，其边长不小于 2米时，开发商的费用是否足
够？请结合函数增减性说明理由．
【答案】(1)y关于 x的函数解析式为 ；
(2)甲类材料中矩形的长是 6米，宽是1米；
(3)（2）中开发商的费用不够；理由见解析．
【分析】（1）根据题意得 即得 ；
（2）在 中，令 得： 或（此时 为负数，舍去），即可得
甲类材料中矩形的长是 6米，宽是1米；
（3）不小于 2米，可得 ，又 ，抛物线开口向
下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，可知当 时， ，即得当 时，
，（2）中开发商的费用够，当 时， ，（2）中开发商的费用不
够．
【详解】（1）解：根据题意得： ， ，四周是由八个全等的矩形，
∴，
∴，
答：y关于 x的函数解析式为 ；
（2）在 中，令 得：
，
解得 或（此时 为负数，舍去），
∴（米），
答：甲类材料中矩形的长是 6米，宽是1米；
（3）∵ 不小于 2米，
∴，
解得 ，
∴；
∵，
又 ，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴当 时， ，
而 时 ，
∴当 时， ，（2）中开发商的费用够，
当 时， ，（2）中开发商的费用不够．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
【经典例题二 图形运动问题】
【例 2】（2023 春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如图①，在正方形 中，点 E是 的
中点，点 P是对角线 上一动点，设 ， ，图②是y关于 x的函数图象，且图象上最低
点Q的坐标为 ，则正方形 的边长为（　　）
A．B．C．4 D．5
【答案】C
【分析】如图，点 D是点 B关于直线 的对称点，连接 交 于点 P，则此时 y取得最小值，即
，即可求解．
【详解】解：如图，点 D是点 B关于直线 的对称点，连接 交 于点 P，
根据点的对称性， ，则 为最小，
故 ，
设正方形的边长为 a，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： （负值已舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求
线段长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022 春·九年级单元测试）如图，在 中， ， ， ．动点 从点 开
始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．若 ，
两点分别从， 两点同时出发，在运动过程中， 的最大面积是（）

摘要：

专题03二次函数的应用重难点题型专训【题型目录】题型一图形面积与周长问题题型二图形运动问题题型三拱桥问题题型四销售问题题型五投球问题题型六喷水问题题型七增长率问题题型八其他问题【知识梳理】知识点：二次函数的应用1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。6.写出答案...

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