【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 3.12MB 67 页 5积分
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专题 02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训
【题型目录】
题型一 求抛物线与 x、y轴的交点坐标
题型二 由二次函数解一元二次方程
题型三 由二次函数的图象求不等式的解集
题型四 抛物线交点问题的综合
题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
题型六 求 x轴与抛物线的截线长
【知识梳理】
知识点：二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与 x 轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与 x 轴没有交点时， ，方程没有实根。
二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种情况:① 没有公共点;② 有一个公共点;③
有两个公共点，这对应着一元二次方程 的根的三种情况:
① 有实数根，此时△＜0;② 有两个相等的实数根，此时△=0;③ 有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为 0 时，则函数值不受字母
的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利
用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的
转换.
知识点：二次函数与不等式
判别式 抛物线 与
x 轴的交点
不等式 的解集 不等式 的解
集
△＞0 或
△＝0 （或 ） 无解
△＜0 全体实数 无解
【经典例题一 抛物线与 x、y轴的交点坐标】
【例 1】（2022 秋·福建宁德·九年级校考期末）对于二次函数 ，当 时，函数
图像与 x轴有且只有一个交点，则以下不满足题意的 a值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由 ，令 ，可得 ．将 代入
得y=0，x=0 时，y=-1，可知该二次函数恒过点（0，-1）和（ ）．若 a>0， 函
数图象与 x轴有且只有一个交点，由图象可知当 x=1 时， ，可得 a<1；若 a<0，
令y=0，则 ，解得 ，由图象可知 ，解得 a>-2，可知 ，
即可求解．
【详解】解：∵
∴设
∴．
将 代入 得 y=0，x=0 时，y=-1，
∴该二次函数恒过点（0，-1）和（ ），
∴①若a>0， 若函数图象与 x轴有且只有一个交点，如图 1，
∴当x=1 时，
∴a<1；
②若a<0，函数图象如图 2所示，
令y=0，则 ，
∴
∴，
∴a>-2，
∴，
故选 C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据题意找到函
数与坐标轴的交点坐标，并分情况画出图象是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022 秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次
函数 的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线 对称，根据现有信息，题
中的二次函数一定不具有的性质是（）
A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2)
C．在 轴上截得的线段的长是 2 D．与 轴的交点是(0，3)
【答案】B
【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为 x=2，可求得抛物线与 x轴的另一交点，则可判断
A、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断 B；把 x=0 代入可求得 y=c，由 c的值有可能为 3，故
可判断 D正确．
【详解】解：由题可知抛物线与 x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为 x=2，
∴抛物线与 x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴在x轴上截得的线段长是 3-1=2，
A∴、C正确，不符合题意；
∵该二次函数图象对称轴为 x=2，
∴顶点横坐标应为 2，
B∴一定不正确，符合题意；
把x=0 代入可求得 y=c，
∴当c=3 时，抛物线与 y轴的交点坐标为(0，3)，
D∴有可能正确，不符合题意．
故选 B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的
图象上是解题关键．
2．（2023·安徽芜湖·校联考模拟预测）已知关于 的二次函数 （ ， 为常数，且
， ）的图象与 轴交于 ， 两点．请完成下列问题：
（1）线段 的长为___________．
（2）若该二次函数的图象的顶点为 ，且与 轴的正半轴交于点 ．当 时， 的值为_____
______．
【答案】
【分析】（1）令 ，解方程即可求解；
（2）依题意得出 ，进而求得点 的坐标，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵二次函数 图象与 轴交于 ， 两点，
当 时， ，
解得： 或 ，
∴的长度为 ，
故答案为： ；
（2）∵ 对称轴为 ，
∵，
∴，
当 时， ，
∵该二次函数的图象的顶点为 ，
∴，
∵该二次函数的图象与 轴的正半轴交于点 ．
当 时， ，
∴①或 ②，
①无解，
由②得： ，
解得： 或 （ 舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
3．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线 与 轴交于 、 两点，点 在点 的
左侧．
(1)请求出抛物线对称轴和点 A、B的坐标；
(2)已知点 、 ，且抛物线与线段 只有一个公共点，请求出 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线 ，点 ，
(2) 或
【分析】（1）根据 求抛物线的对称轴，令 ，解方程即可求出点 A、B的坐标；
（2）先计算出抛物线与直线 的交点坐标 ，抛物线经过定点 ， ，分 和
两种情况，根据抛物线与线段 只有一个公共点，判断点 与点 的位置关系，进而列不
等式即可求解．
【详解】（1）解：对称轴为直线 ，
，
当 时， 或 ，
点 在点 的左侧
点 ， ．
（2）解：当 时， ，
∴抛物线与直线 的交点坐标为 ，
由（1）知，抛物线经过定点 ， ，
分 和 两种情况讨论：
当 时，抛物线开口向上，
当抛物线与线段 只有一个公共点时，点 在点 下方或者点 与点 重
合，
∴，
解得 ，
∴；
当 时，抛物线开口向下，
当抛物线与线段 只有一个公共点时，点 在点 下方，
∴，
解得 ，
∴；
综上所述，a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查求二次函数的对称轴，与 x轴的交点坐标，抛物线上的点的坐标，以及根据图形求所含
参数的取值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用．
【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】
【例 2】（2023 秋·山东淄博·九年级校考期末）已知二次函数 （a，k，h均为常数）的图象
摘要：

专题02二次函数与一元二次方程重难点题型专训【题型目录】题型一求抛物线与x、y轴的交点坐标题型二由二次函数解一元二次方程题型三由二次函数的图象求不等式的解集题型四抛物线交点问题的综合题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况题型六求x轴与抛物线的截线长【知识梳理】知识点：二次函数与一元二次方程1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种...

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