【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题01 二次函数的图象与性质重难点题型专训（解析版）
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专题 01 二次函数的图象与性质重难点题型专训
【题型目录】
题型一 二次函数的图象与各系数之间的关系
题型二 二次函数图象的平移与对称问题
题型三 利用二次函数的性质求自变量的范围
题型四 待定系数法求二次函数的关系式
题型五 根据二次函数的对称性求函数值
题型六 二次函数与 x、y轴的交点坐标问题
题型七 利用二次函数的性质求最值
题型八 二次函数的图象与性质的新定义问题
题型九 二次函数的图象与性质综合问题
【知识梳理】
知识点二：二次函数的图像与性质
二次函数 y=ax2的图象的性质：
的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
(
0,0
)
轴时， 随 的增大而增大； 时， 随
的增大而减小； 时， 有最小值 0．
向下
(
0,0
)
轴时， 随 的增大而减小； 时， 随
的增大而增大； 时， 有最大值 0．
向上 轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下 轴
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
增大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增
大而减小； 时， 有最小值 ．
向下 x=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增
大而增大； 时， 有最大值 ．
的性质：左加右减，上加下减
一般式：
2
y ax bx c
（
a
，
b
，
c
为常数，
0a
）；
函数 二次函数
2
y ax bx c
（a、b、c 为常数，a≠0）
图象
0a
0a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
增 大 而 减 小 ； 时 ， 有 最 小 值 ．
向下 x=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的
增大而增大； 时， 有最大值 ．
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
2
b
xa
直线
2
b
xa
顶点坐标
2
4
,
2 4
b ac b
a a
2
4
,
2 4
b ac b
a a
增减性
在对称轴的左侧，即当
2
b
xa
时，y 随 x 的
增大而减小；在对称轴的右侧，即当
2
b
xa
时，y 随 x 的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当
2
b
xa
时，y
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，
即 当
2
b
xa
时 ， y 随 x 的 增 大 而 减
小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有 最 低 点，当
2
b
xa
时，y 有最 小
值，
2
4
4
ac b
ya
最小值
抛物线有最高点，当
2
b
xa
时，y 有
最大值，
2
4
4
ac b
ya
最大值
知识点三：二次函数的图象与 a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数 a、b、c 及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同
学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与 y 轴的交点位置，看与 x 轴的交点个数．“四看”是对二
次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可
以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在 a、b、c 间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋
c”等类型的式子，这类式子 a、b、c 三个字母都在，并且 c 的系数通常为 1，这时只要取 x 为 b 前的系数
代入二次函数 y＝ax2＋bx＋c 就可以得到所需的形式，从而由其对应的 y 的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当 a、b、c 三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我
们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为
我们提供了 a、b 之间的转换关系，如果少的是字母 c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是
字母 a 或 b，则可利用对称轴提供的 a、b 间转换信息，把 a（或 b）用 b（或 a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），
取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标
轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出 与 0 的大小关系及含有 的代数式的值的大小关系.
(1) 决定开口方向:当 时抛物线开口向上;当 时抛物线开口向下.
(2) 共同决定抛物线的对称轴位置:当 同号时，对称轴在 轴左侧;当异号时，对称轴在
轴右侧(可以简称为“左同右异”);当 时，对称轴为 轴.
(3) 决定与 轴交点的纵坐标:当 时，图象与 轴交于正半轴;当 时，图象过原点;当
时，图象与 轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与 轴交点的个数:当 时，抛物线与 轴有两个交点;当
时，抛物线与 轴有一个交点;当 时，抛物线与 轴没有交点.
(5) 的符号由 时， 的值确定:若，则 ;若 ，则 .
(6) 的符号由 时， 的值确定:若，则 ;若 ，则 .
知识点四：二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线 ( )的图象是由抛物线 ( )的图象
平移得到的.在平移时， 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的 或 发生变化(图象的位置
发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，
再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规
律：将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不
变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向右(
h
>
0)【或左(
h
<0)】
平移 |
k|
个单位
向上(
k
>0)【或下(
k
<0)】
平移
|k
|个单位
向右(
h
>
0)【或左(
h
<0)】
平移|
k|
个单位
向右(
h
>
0)【或左(
h
<0)】
平移|
k|
个单位
向上(
k
>0)【或下(
k
<0)】平移
|k
|个单位
向上(
k
>
0
)【或向下(
k
<
0)】平移
|k
|个单位
y=a
(
x-h
)
2
+k
y=a
(
x-h
)
2
y=a
x
2
+
k
y=ax
2
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【经典例题一 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例1】（2023·安徽黄山·校考一模）如图，抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点在第
四象限，对称轴是直线 ，过第一、二、四象限的直线 （k是常数）与抛物线交于x轴上一
点．现有下列结论：①；②；③；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐
标轴上时， ；⑤若 m为任意实数，则 ．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】①分别判定出 ， ，即可得出 ，得出①错误；
②根据一次函数解析式和抛物线对称轴，求出抛物线与 轴的一个交点为 ，得出 ，根据
抛物线的对称轴为 ，得出 ，求出 ，得出 ，即可判断②错误；
③根据 ， ，得出 ，判断③正确；
④根据题意得出 ，即 ，由②得 ，从而得出 ，判断④正确；
⑤当 时，抛物线取得最小值，最小值为： ，当 时，代入 得
，整理得出 ，判断⑤正确．
【详解】解：①直线 （ 是常数）的图象过一、二、四象限，
∴，
∵抛物线与 y轴的正半轴相交，
∴，
∴，故①错误；
②∵
令得 ，
∴直线 与 轴交点为 ，
∴抛物线与 也交于，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，
把 代入 得： ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴，
解得： ，
∴，
解得： ，故②错误；
③由②知，抛物线过点 ，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④根据题意知，当 时，直线与抛物线的 y值相等，
∴，
∴，
由②得 ，
∴，故④正确；
⑤当 时，抛物线取得最小值，最小值为： ，
当 时，代入 得 ，
即
∴，故⑤正确，
综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式训练】
1．（2023 春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）已知抛物线 （ 是常数），开
口向下，过点 ，且 ，下列四个结论：
①；
②若，则 ；
③若， ，当 时，直线 与该二次函数只有一个公共点，则 或 ；
④当 时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．
以上结论，正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向下，可确定 的符号，根据抛物线的对称轴所在范围可确定 的符号；根据待
定系数法求出抛物线的解析式可判定直线先抛物线的交点问题；根据抛物线的交点式，一元二次方程根与
系数的关系可确定方程是否有实根，由此即可求解．
【详解】解：∵抛物线 （ 是常数），开口向下，
∴，
∵点 ，且 ，即点 是抛物线与 轴的交点，
∴当 时，抛物线的值小于零；当 时，抛物线的值小于零；
抛物线的对称轴为 ，
∵， ，
∴，则 ，
∴， ，故结论①正确；
当 ，抛物线解析式为 ，即抛物线与 轴的交点为 ，
∵点 在抛物线上，
∴，则 ，
∵抛物线的对称轴为 ，且 ，
∴，
∵，
∴，
∴不等式三边同时乘以 ，
∴，
∴，故结论②正确；
当 ， 时，点 的坐标为 ，且点 ，
∴，解得， ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时，直线 与该二次函数只有一个公共点，
∴，整理得， ，
∴，即 ；
在抛物线 中，函数的顶点坐标为 ，当 时， ；当
时， ；
当 时，在直线 中，当 时， ，则 ；当 时， 在直线
上，则 ，
∴综上所示，当 时，直线 与该二次函数只有一个公共点，则 或 ，故结
论③正确；
∵抛物线 （ 是常数），开口向下，过点 ，
∴设抛物线的解析式为 ，整理得， ，
方程变形得， ，
∴，
∵，则 ，且 ，
∴，则 ，
∴，
∴当 时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，二次函数与一次函数图像的交点坐标的计算方法，根据与系
数的关系等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数 图像的一部分与x轴的
摘要：
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专题01二次函数的图象与性质重难点题型专训【题型目录】题型一二次函数的图象与各系数之间的关系题型二二次函数图象的平移与对称问题题型三利用二次函数的性质求自变量的范围题型四待定系数法求二次函数的关系式题型五根据二次函数的对称性求函数值题型六二次函数与x、y轴的交点坐标问题题型七利用二次函数的性质求最值题型八二次函数的图象与性质的新定义问题题型九二次函数的图象与性质综合问题【知识梳理】知识点二：二次函数的图像与性质二次函数y=ax2的图象的性质：的性质：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上(0,0)轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．向...
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作者：周伟光
分类：中小学教育资料
价格：5积分
属性：100 页
大小：4.78MB
格式：DOCX
时间：2024-09-30
