【沪教版数学8年级下】 知识总结-第02讲 一次函数的性质与应用（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 4 4 1.6MB 27 页 5积分
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第 02 讲 一次函数的性质与应用（核心考点讲与练）
一、一次函数的增减性：
一般地，一次函数 （ 为常数， ）具有以下性质：
当 时，函数值 随自变量 的值增大而增大，图像为上升；
当 时，函数值 随自变量 的值增大而减小，图像为下降．
二、一次函数与不等式的关系
1、 一元一次方程与一次函数
（1） 对于一次函数 ，由它的函数值 就得到关于 的一元一次方程 ，解
这个方程得 ，于是可以知道一次函数 的图像与 轴的交点坐标为
．
（2） 若已知一次函数 的图像与 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标
，其就是一元一次方程 的根．
2、 一元一次不等式与一次函数
（1） 由一次函数 的函数值 大于 0（或小于 0），就得到关于 的一元一次不等式
（或 ）的解集．
（2） 在一次函数 的图像上且位于 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围
就是不等式 （或 ）的解集．
三、一次函数的应用
1.根据实际问题建立一次函数解析式的方法
（1） 找等量关系；
（2） 把已知条件代入，变化的两个量用变量 x,y 来表示；
（3） 求定义域。（根据解析式和实际意义求定义域）
2.利用一次函数解决决策问题的方法
（1） 先根据题意建立函数解析式；
（2） （2）再根据解析式画出函数图像；
（3） （3）最后根据图像作出决策。
考点一：判断一次函数的增减性
【例题 1】（2019·上海·青浦东方中学八年级期中）在函数 y＝kx（k＞0）的图象上有三点
A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知 x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜0＜y3B．y3＜0＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【答案】A
【分析】根据正比例函数的图象性质.
【详解】
k
>0,正比例函数，
y
随
x
增大而增大.
【点睛】正比例函数
y=kx
(
k
图象性质:
，正比例函数图象过一、三象限和原点,
y
随
x
增大而增大；
，正比例函数图象过二、四象限和原点,
y
随
x
增大而减小.
【变式训练 1】（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学八年级期中）已知一次函数
的图像不经过第三象限,那么函数值 y 随自变量 x 的值增大而________(填“增大”
或“减小”).
【答案】减小
【分析】根据题意可得 k＜0，再根据一次函数的增减性即可得解.
【详解】解：∵一次函数 的图像不经过第三象限，
∴k＜0，
∴函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小.
故答案为减小.
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解此题的关键在于熟练掌握根据一次函数经过的象
限判断系数的取值范围与一次函数的增减性.
【变式训练 2】（2021·上海青浦·八年级期末）在直线 上且位于 轴下方的点的横
坐标 的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线
y
=
x
-1 与
x
轴的交点坐标，再利用一
次函数的性质，即可找出直线 y=
x
-1 上且位于
x
轴下方的所有点的横坐标取值范围．
【详解】解：当
y
=0 时，
x
-1=0，
解得：
x
=1，
∴直线
y
=
x
-1 与
x
轴交于点（1，0）．
又∵
k
=1＞0，
∴
y
随
x
的增大而增大，
∴直线
y
=
x
-1 上且位于
x
轴下方的所有点的横坐标取值范围是
x
＜1．
故答案为：
x
＜1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象
上点的坐标特征求出直线 y=4
x
-8 与
x
轴的交点坐标是解题的关键．
【变式训练 3】（2021·上海市民办华育中学八年级期中）已知一次函数 的图象经
过点(1，-2)，且不经过第三象限，那么关于 的不等式 的解集是_______
【答案】
【分析】先根据一次函数图象的特点可得 ，再根据一次函数的性质（增减性）即可得．
【详解】解； 一次函数 的图象经过点 ，且不经过第三象限，
，
随 的增大而减小，
则关于 的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
考点二：一次函数与不等式的关系
【例题 1】如图所示，一次函数 的图像经过
A
（0，2）、
B
（4，0）两点，则不等式
kx
+
b
>0 的解集是______________．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】求 对应的图像部分，即取点
B
的上方部分所对应的 的取值范围即 ．
【总结】考查一次函数与不等式之间的关系．
【变式训练 1】已知一次函数 ，
（1） 如果函数的图象在
x
轴的上方，这时
x
应满足的条件是_______；
（2） 如果函数的图像在
y
轴的左侧，此时
x
的取值范围是__________．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）解不等式 ，得 ；（2）
y
轴左侧即
x
＜0．
【总结】考查一次函数与不等式之间的关系．
【变式训练 2】如图所示，直线 经过
A
（ ，2）和
B
（ ，0）两点，则不等式组
的解集是什么?
摘要：

第02讲一次函数的性质与应用（核心考点讲与练）一、一次函数的增减性：一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质：当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升；当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降．二、一次函数与不等式的关系1、一元一次方程与一次函数（1）对于一次函数，由它的函数值就得到关于的一元一次方程，解这个方程得，于是可以知道一次函数的图像与轴的交点坐标为．（2）若已知一次函数的图像与轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标，其就是一元一次方程的根．2、一元一次不等式与一次函数（1）由一次函数的函数值大于0（或小于0），就得到关于的一元一次不等式（或）的解集．（2）在一次函数的图...

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