【沪教版数学8年级下】 知识总结-第04讲 分式方程与无理方程（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 5 4 376.65KB 28 页 5积分
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第 04 讲 分式方程与无理方程（核心考点讲与练）
一．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，
可能产生增根，增根是令分母等于 0的值，不是原分式方程的解．
二．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为 0，所以应如下检
验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程
的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为 0，则整式方程的解不是原分式方程
的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
三．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母
的值为 0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的
增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，
不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分
式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转
化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否
为0，如果为 0，则是增根；如果不是 0，则是原分式方程的根．
四．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根
号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，
在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分
解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同
次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
一．分式方程的增根（共 6小题）
1．（2021 秋•徐汇区月考）在去分母解关于 x的分式方程 的过程中产生增根，则 a
＝　 4 　 ．
【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，由解关于 x的分式方程 的过程中
产生增根得到 x＝4，代入整式方程即可求出 a的值．
【解答】解：方程两边同乘 x−4 得：x＝2（x4﹣）+a，
∵关于 x的分式方程 有增根，
∴x4﹣＝0，
解得 x＝4，
将x＝4代入方程 x＝2（x4﹣）+a，得：4＝2（4 4﹣）+a，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为 0时x的值．
2．（2020 秋•浦东新区期末）如果方程 有增根，则 k＝　 1 　 ．
【分析】先化简原式，再将 x＝2代入求解．
【解答】解：方程 两边同时乘以 x2﹣可得，
1＝2（x2﹣）+k，
∵方程有增根 x＝2，
∴将x＝2代入 1＝2（x2﹣）+k，
可得 k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查分式方程增根问题，解题关键是熟练掌握增根的含义及解分式方程的方法．
3．（2021•奉贤区三模）解方程： ＝ ﹣1．
【分析】观察可得最简公分母是（x+2）（x2﹣），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程
转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母，得 4＝（x+2）﹣（x+2）（x2﹣），
整理，得 x2﹣x2﹣＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝2．
经检验：x1＝﹣1是原方程的根，x2＝2是增根．
故原方程的根为 x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程
转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
4．（2016 春•松江区期末）解方程： ．
【分析】方程两边同乘以（x+2）（x1﹣），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最
简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x1﹣），
得，3x2﹣x（x+2）＝x2+x2﹣，
整理得，x23﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
检验：当 x＝1时，（x+2）（x1﹣）＝0，
∴x＝1不是原方程的根，
当x＝2时，（x+2）（x1﹣）≠0，
∴x＝2是原方程的根，
∴原方程的根是 x＝2．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的
解；③检验；④得出结论．
5．（2020•碑林区校级模拟）解方程： ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x2﹣），
得：x+2﹣（x+2）（x2﹣）＝4，
整理，得：x2﹣x2﹣＝0，
解此方程，得：x1＝2，x2＝﹣1，
经检验：x＝2是增根（舍去），x＝﹣1是原方程的根，
则原方程的根为 x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意不要忘了检验．
6．（2020 秋•荷塘区校级期中）已知关于 x的分式方程 +＝ ．
（1）若方程有增根，求 k的值．
（2）若方程的解为负数，求 k的取值范围．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为 0，
代入整式方程计算即可求出 k的值．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x，根据解为负数求出 k的范
围即可；
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x1﹣）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到 x＝1或x＝﹣1，
摘要：

第04讲分式方程与无理方程（核心考点讲与练）一．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．二．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为...

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