【沪教版数学8年级下】 知识总结-第10讲 梯形（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 7 4 899.16KB 43 页 5积分
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第 10 讲 梯形（核心考点讲与练）
一．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫
梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
二．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一
种作辅助线的方法．
三．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成
矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
四．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助
线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
五．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点 D、E分别是 AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
六．梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形
的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的 2倍乘高再除以 2就等于梯形的面积，即
梯形的面积＝ ×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
一．梯形（共 3小题）
1．（2021 春•浦东新区期末）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，AC⊥BC，那
么下列结论不正确的是（　　）
A．AC＝2CD B．∠ABC＝60° C．∠CBD＝∠DBA D．BD⊥AD
【分析】A、根据三角形的三边关系即可得出 A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三
角形的判定与性质即可得出∠ADB＝90°，从而得出 B正确；C、由梯形的性质得出 AB∥CD，
结合角的计算即可得出∠ABC＝60°，即 C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质
即可得出∠DAC＝∠CAB，即 D正确．综上即可得出结论．
【解答】解：A、∵AD＝DC，
∴AC＜AD+DC＝2CD，A不正确；
B、∵四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠BAD，
在△ABC 和△BAD 中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵DC＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ABD＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝60°，B正确，
C、∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，C正确．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB＝∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB＝∠BCA＝90°，
∴DB⊥AD，D正确；
故选：A．
【点评】本题考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定
与性质，解题的关键是逐项分析四个选项的正误．本题属于中档题，稍显繁琐，但好在该题
为选择题，只需由三角形的三边关系得出 A不正确即可．
2．（2021 秋•徐汇区期末）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AF⊥BC 于F，M是CD 中点，AM
的延长线交 BC 的延长线于 E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝ ，则梯形的面积是　 8 　．
【分析】（1）根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出 BF、AB，根据直角三角形的性质
求出 BE，证明△DAM≌△CEM，根据全等三角形的性质得到 AD＝CE，根据梯形的面积公式
计算，得到答案．
【解答】解：设 BF＝x，
在Rt△ABF 中，∠B＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴AB＝2BF＝2x，
由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（2）2，
解得，x＝2，
∴AB＝4，
在Rt△ABE 中，∠B＝60°，
∴∠AEB＝30°，
∴BE＝2AB＝8，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠CEM，
在△DAM 和△CEM 中，
，
∴△DAM≌△CEM（AAS）
∴AD＝CE，
∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8，
∴梯形的面积＝ ×（AD+BC）×AF＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是梯形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全
等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（2021 秋•黄浦区期中）如图所示，AB∥CD，AC、BD 相交于点 E，若△CDE 面积为 3，△B
CE 的面积为 5，则梯形的面积为　 　．
【分析】如图，过点 E作FG⊥CD 于F，交 AB 于点 G，由相似三角形（△ABE∽△CDE）的
对应边上的高线之比等于相似比得到： ＝ ＝ ，结合梯形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，过点 E作FG⊥CD 于F，交 AB 于点 G，
∵AB∥CD，
∴EG⊥AB．
∵△CDE 面积为 3，△BCE 的面积为 5，
∴△BCD 的面积为 8，
∴CD•EF：CD•DG＝3：8．
∴EF：DG＝3：8．
∴EF：EG＝3：5．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE．
∴＝ ＝ ．
∴AB＝CD．
∴S梯形 ABCD＝ （CD+AB）•DG＝×CD•DG＝×8＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题主要考查了梯形，三角形的面积和平行线之间的距离，解题的关键是利用相似
三角形的性质求得 ＝ ．
二．直角梯形（共 3小题）
摘要：

第10讲梯形（核心考点讲与练）一．梯形（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．二．直角梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．角：有两个内角是直角．过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．三．等腰梯形的性质（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线...

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