【沪教版数学8年级下】 知识总结-第14讲 图形运动中函数关系的确定（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 5 4 1.89MB 36 页 5积分
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第 14 讲 图形运动中函数关系的确定（核心考点讲与练）
一、动点求函数解析式
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与
已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图
形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．
二、图形运动求函数解析式
图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角
形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．
一、动点求函数解析式
例 1．（2018·上海八年级期末）观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保
持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系
xOy
有关研讨
中，将到线段
PQ
所在的直线距离为 的直线，称为直线
PQ
的“观察线”，并称观察线上
到
P
、
Q
两点距离和最小的点
L
为线段
PQ
的“最佳观察点”．
(1)如果
P
(1， )，
Q
(4， )，那么在点
A
(1，0)，
B
( ，2 )，
C
( ，3)中，处在直
线
PQ
的“观察线”上的是点　 　；
(2)求直线
y
＝
x
的“观察线”的表达式；
(3)若
M
(0，﹣1)，
N
在第二象限，且
MN
＝6，当
MN
的一个“最佳观察点”在
y
轴正半轴上时，
直接写出点
N
的坐标；并按逆时针方向联结
M
、
N
及其所有“最佳观察点”，直接写出联结
所围成的多边形的周长和面积．
【答案】(1)
A
，
B
； (2)直线
y
＝
x
的“观察线”的解析式为
y
＝
x
﹣2 或
y
＝
x
+2；
(3)围成的图形是菱形
MQNQ
′，这个菱形的周长 8 ，这个菱形的面积 6 ．
【分析】（1）由题意线段 PQ 的“观察线”的解析式为 y=0 或 y=2 ，由此即可判断；
（2）如图 2 中，设直线 的下方的“观察线”MN 交 y 轴于 K，作 KE⊥直线 ，
求出直线 MN 的解析式，再根据对称性求出直线 的上方的“观察线”PQ 即可；
（3）如图 3 中，设点 Q 是 MN 的一个“最佳观察点”，点 P 是 MN 的中点．解直角三角形求出
点 P 坐标，再根据中点坐标公式求出等 N 坐标；观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察
点”为 Q′，按逆时针方向联结 M、N 及其所有“最佳观察点”，所围成的图形是菱形 MQN
Q′，这个菱形的周长=8 ，这个菱形的面积=＝ ×6×2 ＝6 ．
【详解】
(1)如图 1 中，
由题意线段
PQ
的“观察线”的解析式为
y
＝0 或
y
＝2 ，
∵点
A
在直线
y
＝0 上，点
B
在直线
y
＝2 上，
∴点
A
，点
B
是直线
PQ
的“观察线”上的点，
故答案为
A
，
B
．
(2)如图 2 中，设直线
y
＝
x
的下方的“观察线”
MN
交
y
轴于
K
，作
KE
⊥直线
y
＝
x
，
由题意：
EK
＝ ，
∵直线
y
＝
x
与
x
轴的夹角为 30°，
∴∠
EOK
＝60°，
∴∠
EKO
＝30°，
∴tan30°＝ ＝ ，
∴
OE
＝1，
∴
OK
＝2
OE
＝2，
∵
MN
∥直线
y
＝
x
，
∴直线
MN
的解析式为
y
＝
x
﹣2，
根据对称性可知在直线
y
＝
x
上方的“观察线”
PQ
的解析式为
y
＝
x
+2．
综上所述，直线
y
＝
x
的“观察线”的解析式为
y
＝
x
﹣2 或
y
＝
x
+2．
(3)如图 3 中，设点
Q
是
MN
的一个“最佳观察点”，点
P
是
MN
的中点．
当点
Q
在
y
轴的正半轴上时，连接
PQ
，则
PQ
垂直平分线线段
MN
．
在Rt△
PQM
中，
PQ
＝ ，
PM
＝3，
∴
MQ
＝ ＝2 ，
∵
M
(0，﹣1)，
OQ
＝2 ﹣1，
作
PH
⊥
y
轴于
H
．
在Rt△
PQH
中，∵tan∠
PQH
＝ ＝ ，
∴∠
PQH
＝60°，
∴∠
QPH
＝30°，
∴
QH
＝
PQ
＝ ，
PH
＝
QH
＝ ，
∴
OH
＝2 ﹣1﹣ ＝ ﹣1，
∴
P
(﹣ ， ﹣1)，
∵
PN
＝
PM
，
∴
N
(﹣3，3 ﹣1)．
观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察点”为
Q
′，按逆时针方向联结
M
、
N
及其所有
“最佳观察点”，所围成的图形是菱形
MQNQ
′，这个菱形的周＝8 ，这个菱形的面积＝
×6×2 ＝6 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、点到直线的距离、轨迹、解直角三角形等知识，解题的
关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题．
例 2．（2020·上海八年级期中）如图，直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过
A，C 两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B 点，且 OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程 x2
﹣14x+48=0 的两个实数根．
（1）求 C 点坐标；
（2）求直线 MN 的解析式；
（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写
出 P 点的坐标．
【答案】（1）C（0，6）．
（2）y= x+6．
（3）P1（4，3），P2（ ）P3（ ），P4（ ）．
试题分析：
（1）通过解方程 x2﹣14x+48=0 可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k≠0）．把点 A、C 的坐标分别代入解析式，列出关于
系数 k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB 为腰，PB 为底两种情况下的点 P 的坐标．根据等腰三角形的性质、
摘要：

第14讲图形运动中函数关系的确定（核心考点讲与练）一、动点求函数解析式动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围．二、图形运动求函数解析式图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系．一、动点求函数解析式例1．（2018·上海八年级期末）观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某...

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