八年级数学2021-2022学年压轴题专练【考点培优尖子生专用】（沪教版）-专题04勾股定理（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-12 4 4 4.4MB 137 页 15积分
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专题 04 勾股定理压轴题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在 中，
， 为 边的中点，点 是 延长线上一点，把
沿 翻折，点 落在 处， 与 交于点 ，连接 ．当
时， 的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
如图，连接 CC′，过点 C′作C′H⊥EC 于H．设 AB 交DE 于N，过点 N作NT⊥EF 于
N，过点 D作DM⊥EC 于M．证明∠CC′B=90°，求出 CC′，BC 即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接 CC′，过点 C′作C′H⊥EC 于H．设 AB 交DE 于N，过点 N作NT⊥EF
于N，过点 D作DM⊥EC 于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°， ，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则 CH=EC=EH=2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则 AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT 中，∵FN2=NT2+FT2，
∴（4m-x）2=x2+（2m）2，
解得 x=m，
∵AC=AB=6 ，∠CAB=90°，
∴BC=AC=12 ，
∴CD=BD=6 ，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=3 ，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=6 ，
∴EC=9 =5k，
∴，
∴，
∴，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全
等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
题，学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题
2．（2019·上海上外附中八年级月考）如图， 为等腰三角形， ，
，点 ， 分别为 ， 中点，点 ， 在边 上，且 ，则
图中阴影部分的面积为__________
【答案】1.5
【分析】
作 于点 ，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 、 ，因为
是 的中位线，可依据三角形全等的判定与性质得点 是 的中点，利用
三角形的中位线定理可依次求得 ， ， ，
，依据平行线的性质可得 ，即可用三角形面积公式求
解.
【详解】
解：作 于点 ，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 、 ，
则 是 的中位线， 是 的中位线，
∴， ，
∴， ， ,
∴≌(ASA)，
∴是 的中点，
∴是 的中位线，
∵为等腰三角形， ， ，
∴， ，
∵是 的中位线， 是 的中位线，
∴， ， ， ，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为 .
故答案为：1.5.
【点睛】
本题考查了三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、
勾股定理，解题的关键是构造三角形的中位线.
3．（2019·上海上外附中八年级月考）如图，正方形 中， 为边 中点，折
叠正方形使得点 与点 重合，折痕为 ，设梯形 面积为 ，梯形
面积为 ，则 _________
【答案】
【分析】
连接 AM、EM，设正方形边长为 ，设 ，则 ，设
，则 ，在 、 、 中运用勾股定理
及翻折的性质，求得 ，最后运用梯形的面积公式即可求解.
【详解】
解：连接 AM、EM，设正方形边长为 ，
∵为边 中点，
∴，
由翻折知 ， ，
设 ，则 ，设 ，则 ，
∵正方形 ，
∴，,
∴， ，
∴， ， ， ，
∵梯形 面积为 ，梯形 面积为 ，且 ,
∴.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理、梯形的面积公式，求解的关键是
利用勾股定理及翻折的性质建立等式.
4．（2020·上海）在 中， ， ， ，点 、 分
别在边 、 上．如果 为 中点，且 ，那么 的长度为_______
___．
【答案】5或1.4
【分析】
根据已知比例式先求出 DE 的长，再分两种情况：① E为BC 的中点，可直接得出 AE
的长；②点 E在靠近点 A的位置，过点 D作DF AC⊥于点 F，证明△ADF ACB∽△ ，
得出 ，从而可得出 DF 的长，再分别根据勾股定理得出 AF，EF 的长，从而
可得出结果．
【详解】
解：∵在 中，根据勾股定理得，AC= ，
又D是AB 的中点，∴AD= AB=4，
∵，
∴，∴DE=3．
分以下两种情况：
①当点 E在如图①所示的位置时，即点 E为AC 的中点时，DE= BC=3，
故此时 AE= AC=5；
②点E在如图②所示的位置时，DE=3，过点 D作DF AC⊥于点 F，
AFD= B=90°∵∠ ∠ ，∠A= A∠，
ADF ACB∴△ ∽△ ，
∴，即 ，∴DF=2.4．
∴在Rt ADF△中，AF= ，
在Rt DEF△中，EF= ，
AE=AF-EF=1.4∴．
综上所述，AE 的长为 5或1.4．
故答案为：5或1.4．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，中位线的性质以及勾股定理等知识，掌握基
本性质并运用分类讨论思想是解题的关键．
5．（2019·上海华二紫竹双语学校或华二双语学校九年级月考）如图，从点
A（0，2）发出一束光，经 x轴反射，过点 B（3， ），则这束光从点 A到点 B所经
过的路径的长为____________．
【答案】
【分析】
过点 B作BD x⊥轴于 D，由题意得出 OA=2，BD=4，OD=3，∠ACO= BCD∠，证明
△AOC BDC∽△ ，得出 ，求出 OC= DC= OD=1，得出
CD=OD-OC=2，由勾股定理得出 AC= ，BC=
，即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点 B作BD x⊥轴于 D，
A∵（0，2），B（3，4），
OA=2∴，BD=4，OD=3，
根据题意得：∠ACO= BCD∠，
AOC= BDC=90°∵∠ ∠ ，
AOC BDC∴△ ∽△ ，
∴，
OC=∴DC= OD=1，
CD=OD-OC=2∴，
AC=∴，BC= ，
AC+BC=∴，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了轨迹、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟
练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
6．（2020·黑龙江九年级二模）如图，Rt ABC △中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，
点 D 在 CE 的延长线上，连接 BD，过 B作BF BC⊥交 CD 于点 F，连接 AF，若
CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则 AF 的长为_________．
【答案】
【分析】
取CF 的中点为 M连接 BM，可证得 与 均为等腰三角形，设
，通过角的计算可证得 与 均为等腰三角形，由
，设 ，过 B作 于 N，过 A作 于 G，根
据相似三角形的性质结合勾股定理可求得 的值以及 AG、FG 的值，利用勾股定理即
可求解．
摘要：

专题04勾股定理压轴题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作D...

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