专练10（圆锥曲线压轴题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）
VIP免费
2021 高考考点必杀 500 题
专练 10（圆锥曲线压轴题）（30 道）
1．（2021·上海黄浦区·高三一模）定义：已知椭圆 ，把圆 称为
该椭圆的协同圆.设椭圆 的协同圆为圆 (为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆 的方程；
（2）设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
（3）设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于 点，求
证：点 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析，定圆的方程为 .
【分析】
（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆 的方程；
（2）讨论直线 的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐
标表示求 ；斜率存在时，设 联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根
与系数关系、向量数量积的坐标表示求 ；
（3）设 ，则 ，讨论 有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜
率都存在，分别求 ， ， ，由等面积法求 ，即可证结论，并写出定圆方程.
【详解】
（1）由椭圆 ，知 .
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆 .
（2）设 ，则 .
直线 为圆 的切线，分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线 的斜率不存在时，直线 .
若 ，由 ，解得 ，此时 .
若 ，同理得： .
②当直线 的斜率存在时，设 .
由 ，得 ，有 ，
又直线 是圆 的切线，故 ，可得 .
∴，则 ，而 .
∴，即 .
综上，恒有 .
（3） 是椭圆 上的两个动点且 ，设 ，则 .
直线 ：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线 的斜率不存在，即点 在 轴上，则点 在 轴上，有 .
∴， ，且 ，
由 ，解得 .
若直线 的斜率都存在，设 ，则 .
由 ，得 ，有 ；同理，得 .
于是， .
由 ，可得 .
因此，总有 ，即点 在圆心为坐标原点，半径为 的圆上.
∴该定圆的方程为圆 .
【点睛】
关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方
程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线.
2．（2021·上海金山区·高三一模）已知点 在抛物线 上，过点 作圆 (
)的两条切线，与抛物线 分别交于 ､两点，切线 ､与圆 分别相切于点 ､.
（1）若点 到圆心 的距离与它到抛物线 的准线的距离相等，求点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，且 时，求 的值；
（3）若点 的坐标为 ，设线段 中点的纵坐标为 ，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3）.
【分析】
（1）设出 点的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得 点坐标.
（2）先求得 和 ，然后结合向量数量积运算求得 .
（2）设出过 的圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简写出根与系数关系，联立
切线和抛物线的方程，求得 的纵坐标，由此求得线段 中点的纵坐标 的表达式，进而求得 的取
值范围.
【详解】
（1）设点 的坐标为 ，
则 ，解得 或 ，
即点 的坐标为 或 ；
（2）当点 的坐标为 ，且 时， ，
在直角三角形 中， ，且 ，
同理， ，且 ，
从而 ；
（3）由题意知切线 ､的斜率均存在且不为零，设切线方程为 ，
由 ，得 ，
记切线 ､的斜率分别为 ､，则 ，
由于切线 ､的方程分别为 ､，
联立 ，消去 ，得 ，
设､，则 ，故 ，
同理， ，于是 ，
因为 ，所以 ，
.
所以 .
即 的取值范围是 .
【点睛】
直线和圆相切的问题，可以利用圆心到直线的距离等于半径列方程.
3．（2021·上海松江区·高三一模）已知椭圆 Γ： 的右焦点坐标为 ，且长轴长
为短轴长的 倍，直线 l交Γ椭圆于不同的两点 和 ，
（1）求椭圆 Γ的方程；
（2）若直线 l经过点 ，且 的面积为 ，求直线 l的方程；
（3）若直线 l的方程为 ，点 关于 x轴的对称点为 ，直线 ， 分别与 x轴
相交于 P､Q两点，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意，结合 的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线 l的方程为 ，与椭圆方
程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出 的面积并等于 ，求解 的值，即可得
直线 l的方程；（3）由已知得 的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线 的方程，
令 ，求出 ，即可得 ，并根据直线方程求出 ，然后相乘代入化简即可.
【详解】
解：（1）由题意得 ， ，
摘要：
展开>>
收起<<
2021高考考点必杀500题专练10（圆锥曲线压轴题）（30道）1．（2021·上海黄浦区·高三一模）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为.【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程；（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜...
作者：周伟光
分类：中小学教育资料
价格：5积分
属性：76 页
大小：3.12MB
格式：DOCX
时间：2024-11-07
