带导数项的奇摄动非线性Schrodinger方程解的存在性

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3.0 牛悦 2024-11-11 4 4 410.32KB 37 页 15积分

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中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ........................................................................................................... 1

1.1 非线性 Schrödinger 方程的研究情况 .......................................................... 1

1.2 本文的主要工作 ........................................................................................... 3

第二章预备知识 ..................................................................................................... 5

2.1 本文所用的主要定理 ................................................................................... 5

2.2 Lyapunov-Schmidt 方法 ................................................................................ 6

2.3 摄动理论 ...................................................................................................... 7

2.4 符号说明 ...................................................................................................... 9

第三章有一阶导数项的非线性 Schrödinger 方程解的存在性与集中性 ............. 10

3.1 引言 .......................................................................................................... 10

3.2 线性估计 .................................................................................................... 10

3.3 非线性估计 ................................................................................................ 13

3.4 主要结果的证明 ......................................................................................... 15

第四章有导数项及

势的非线性 Schrödinger 方程解的存在性与集中性 ......... 18

4.1 引言 .......................................................................................................... 18

4.2 在有限空间上的分析 ................................................................................. 18

4.3 对

()

hzh

的估计 ....................................................................................... 20

4.4 对

()

hzh

′

的Fredholm 反向算子的估计 ................................................... 21

4.5 主要定理的证明 .......................................................................................... 25

第五章耦合的非线性 Schrödinger 方程解的存在性 ............................................ 28

5.1 引言 .......................................................................................................... 28

5.2 预备知识 .................................................................................................... 29

5.3 主要结果的证明 .......................................................................................... 30

参考文献 ................................................................................................................. 31

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ........................................ 35

致谢 ...................................................................................................................... 36

摘要

本文主要用Lyapunov-Schmidt方法及压缩映射原理研究了非线性Schrödinger

方程解的存在性与集中性; 利用摄动理论研究了一类非线性Schrödinger方程组解

的存在性.

本文的主要内容: 证明了一类有一阶导数摄动项的非线性Schrödinger方程解

的存在性与集中性; 研究了一类有导数项及

类势函数的奇摄动非线性

Schrödinger方程解的存在性与集中性; 讨论了一类具有多个摄动项的耦合的非线

性Schrödinger方程组解的存在性.

具体来讲, 第一章绪论部分介绍了一些历史背景及对非线性 Schrödinger 方程

解的研究已取得的成果, 最后介绍了本文的主要工作．

在第二章, 给出了本文所用的主要定理、主要理论及符号说明.

在第三章, 证明了一类具有一阶导数摄动项的非线性 Schrödinger 方程解的存

在性与集中性. 首先将所研究的问题转化为摄动问题, 然后利用Lyapunov-Schmidt

方法及压缩映射原理证明了问题解的存在性和集中性.

在第四章, 证明了一类具有导数项及

类势函数的奇摄动的非线 Schrödinger

方程半经典解的存在性与集中性, 主要利用Lyapunov-Schmidt 方法及压缩映射原

理研究解的性质, 并得到了与第三章类似的结论.

在第五章, 主要利用摄动理论证明了一类耦合的非线性 Schrödinger 方程组解

的存在性.

关键词: 非线性 Schrödinger 方程导数项 Lyapunov-Schmidt 方法

压缩映射原理摄动理论

ABSTRACT

In this thesis, the existence and concentration of the solutions of nonlinear Schröd-

inger equations with derivative terms are studied by using the Lyapunov-Schmidt meth-

od and contraction mapping principle. Using perturbation theory, we study the existence

of the solution of the coupled nonlinear Schrödinger equations.

The main contacts of this paper are the existence and concentration of the solutions

of nonlinear Schrödinger equations with derivative terms ，the existence and

concentration of the solutions of nonlinear Schrödinger equations with derivative terms

and

potential，the existence of the solutions of the coupled nonlinear Schrödinger

equations.

To be more specific, in chapter 1, the background, the existence of solutions and

main results of this paper are introduced.

In chapter 2, we give the main theorems, conclusions and symbol description .

In chapter 3, by transforming the equation into perturbation problem and then usin-

g the Lyapunov-Schmidt method and contraction mapping principle, we study the exist-

ence and concentraction of the solution of a class of nonlinear Schrödinger equations w-

ith first derivative terms.

In chapter 4, using the Lyapunov-Schmidt method and contraction mapping princi-

ple, we study the existence and concentraction of the solution of a class of nonlinear Sc-

hrödinger equations with derivative terms and

potentials.

In chapter 5, using perturbation theory, we study the existence of the solution of a

class of the coupled nonlinear Schrödinger equations.

Key Words: Nonlinear Schrödinger equations, Derivative terms,

Lyapunov-Schmidt method, Contraction mapping principle,

Perturbation theory

第一章绪论

1.1 非线性 Schrödinger 方程的研究情况

1926 年, 奥地利物理学家 Schrödinger 提出了量子力学的一个基本方程

-Schrödinger 方程, 该方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律, 是原子物理

学中处理非相对论问题的有力工具, 在原子、分子、核物理、固体力学、化学等领

域中被广泛应用.

非线性Schrödinger方程是描述非线性波的调制方程, 是数学物理中一类重要的

非线性演化方程, 并在量子力学[1-3]、等离子体理论[4-5]、非线性光学[6-8]等众多领域

中得到了广泛应用, 故对该方程的解进行研究有着重要的意义. 对其解的研究有

很多方法, 如逆散射法[9]、Hirota变换法[10]、Tanh函数展开法[11]、分离分量法[12]、

Jacobi椭圆函数展开法[13-14]及变分法[38,47]等.

1986 年, Floer 等[24]利用 Lyapunov-Schmidt 方法研究了下列具有势函数

及三

次立方的非线性 Schrödinger 方程

()0

txx

ihVx

+−−=

ϕϕϕγϕϕ

解的性质, 其中

足够小, inf()

VxE

∈

将形为

(,)exp()()

iEt

xtx

ϕ−

=的行波解代入上式得

vVvvEv

′′

−+−=, (1.1.1)

Floer等[24]得到如下结论: 对

()

的每一个非退化的临界点

, 都存在一个 3

使得对满足

的

, 方程（1.1.1）有非零解

()

1988 年, Oh[25-28]将Floer 等[24]的结论推广至多维空间.

1994 年, 秦玉明[29]研究了下列具有

类势函数的高阶非线性 Schrödinger 方程

()0

txx

ihVx

−

+−−=

ϕϕϕγϕϕ ,

将

(,)exp(/)()

xtiEthx

=−

的行波解代入上式得

vVvvEv

′′

−+−=. (1.1.2)

该文章证明了方程（1.1.2）的半经典有界解的存在性, 并将文献[25]的结论加以推广.

其中

≥

为任意奇数,

∈

为一正常数,

. 文章首先借助 Berestycki 等

[30]对基态解的研究将问题转化, 再用Lyapunov-Schmidt 方法研究方程(1.1.2)解的

存在性与集中性, 得到如下结论:

(1) 对

()

的每一个非退化临界点

, 存在3

, 使得对满足

的

, 方

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目录中文摘要ABSTRACT第一章绪论...........................................................................................................11.1非线性Schrödinger方程的研究情况..........................................................11.2本文的主要工作...................................................................................

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