非线性KdV-Burgers-Kuramoto方程的精确解及不可积性

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3.0 牛悦 2024-11-11 4 4 2.2MB 43 页 15积分

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非线性 KdV-Burgers-Kuramoto 方程

的精确解及不可积性

摘要

本文主要用指数函数展开法和 Tanh 函数展开法研究了具有耗散项和不稳定

效应的 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的孤波解, 同时还得到了它的一些副产品的函

数形式的精确解. 并分别利用 WTC 方法和推广的 Painlevé 展开法检测了 KdV-

Burgers-Kuramoto 方程的 Painlevé 不可积性, 然后分别用标准截断和非标准截断展

开求得了 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的孤波解.

第一章简单介绍了孤立子理论的发展历程与研究现状, 求解非线性系统的几

种重要方法以及本文所研究的非线性系统的来源及物理意义和本文的主要内容和

创新点.

第二章给出了用指数函数方法求解非线性系统的一般步骤, 并将指数函数方

法应用于求解 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的精确解. 作为一个副产品, 我们还得到

了Kuramoto-Sivashinsky 方程的指数函数形式的精确解. 这两种非线性系统的指数

函数形式的精确解为扭结解或者孤波解, 同时给出了它们的具体图形.

第三章用双曲正切函数展开法对 KdV-Burgers-Kuramoto 方程进行求解, 通过

双曲正切函数法将非线性波方程的求解问题转化成非线性代数方程组的求解问题,

得到了 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的 Tanh 型的孤立波解. 同时也得到了

KdV、Kuramoto-Sivashinsky 和KdV-Burgers 方程的 Tanh 型解, 并简单讨论了这些

解的性质.

第四章介绍了非线性偏微分方程 Painlevé 性质的几种检验方法, 并用这些方法

检验了 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的 Painlevé 性质, 可以直接证明 KdV-Burgers-

Kuramoto 方程不具有 Painlevé 可积性. 进一步用标准截断展开和非标准截断展开

的方法, 构造了 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的多个行波解. 最后一章总结了本文得

到的结果, 讨论了 KdV-Burgers-Kuramoto 方程其它特点, 并展望了未来的研究工作.

关键词：指数函数 Tanh 展开法 Painlevé 分析法精确解

ABSTRACT

In this paper index function expansion method and Tanh function expansion

method is used to study the solutions of KdV-Burgers-Kuramoto equation which has

dissipative term and unstable effect, and get some by-product function forms of exact

solution. Then respectively with WTC method and the extended Painlevé method to

detect the equation does not have Painlevé integrability, and then use standard

truncation and non-standard truncation obtained the solutions of the equation.

In Chapter I, development history of the soliton theory is briefly introduced firstly.

Several important methods to study the nonlinear systems are presented and the

physical meanings of the KdV-Burgers-Kuramoto and Kuramoto-Sivashinsky equations

and the main content and innovation points are discussed.

In Chapter II, the general steps of exponential function expansion are given to

construct the exact solutions of nonlinear system and many exact solutions for KdV-

Burgers-Kuramoto equation are obtained by exponential function expansion. And the

exact solutions of Kuramoto-Sivashinsky equation also are obtained as a byproduct.

These exact solutions are solitary wave or kink-like wave and the detailed figures of

these exact solutions are plotted explicitly.

In Chapter III, The Tanh-like solitary wave solutions of many nonlinear systems

are constructed by the hyperbolic tangent function expansion method including KdV,

Kuramoto-Sivashinsky and KdV-Burgers equation. We also discuss the properties of

these exact solutions.

Fourth chapter presents several Painlevé test methods of nonlinear partial

differential equation and the non- Painlevé integrability of KdV-Burgers-Kuramoto

equation is proved directly by WTC test. Taking use of the standard and non-standard

truncted expansion, many traveling wave solitons are obtained of KdV-Burgers-

Kuramoto equation. Summary and discussions are given in the last chapter and pros-

pects the future research work.

Key word: Exponential function, Tanh expansion, Painlevé analysis,

Exact solution

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论..............................................................................................................1

1.1 孤立子理论的发展历程与研究现状..............................................................1

1.2 非线性偏微分方程的介绍..............................................................................2

1.3 非线性偏微分方程的解法简介......................................................................2

1.4 本文研究的方程来源及物理意义..................................................................6

1.5 本文主要内容及创新点..................................................................................7

第二章非线性 KBK 方程的指数函数求法............................................................8

2.1 指数函数方法的简介......................................................................................8

2.2 KBK 方程与 KS 方程的行波解.....................................................................9

2.3 解的讨论........................................................................................................13

2.3.1 KS 方程的解............................................................................................13

2.3.2 KBK 方程的解........................................................................................15

第三章非线性 KBK 方程的 Tanh 函数求法.........................................................21

3.1 Tanh 函数法的介绍......................................................................................21

3.2 解的讨论........................................................................................................22

3.2.1 KdV 方程的解.........................................................................................22

3.2.2 KS 方程的解............................................................................................23

3.2.3 KB 方程的解...........................................................................................24

3.2.4 KBK 方程的解........................................................................................24

第四章 KBK 方程的 Painlevé 不可积性及精确解................................................27

4.1 非线性偏微分方程 Painlevé 方法介绍........................................................27

4.2 KBK 方程的 Painlevé 不可积性及精确解..................................................29

4.3 KBK 方程推广的 Painlevé 展开法..............................................................32

第五章总结与讨论.................................................................................................36

参考文献..................................................................................................................37

第一章参考文献

第一章绪论

1.1 孤立子理论的发展历程与研究现状

孤立波现象最早是由英国科学家 Russell 观察到的奇特现象. 早在 1834 年, 他

在爱丁堡格拉斯运河河道的浅水面上发现了一种奇特的水波, 这种水波光滑圆润,

轮廓分明的孤立于水面上, 而且在行进的过程中始终保持原始的形状和速度不改

变, 并且水波始终位于水面之上, 于是 Russell 认为这种水波不是一般的水波. 1844

年9月, John Scott Russell 在英国科学促进协会第十四次会议(Fourteenth Meeting of

the British Assoc. For the Advancement of Science) 的报告中以《论波动》 [1](On

Waves)为题, 描述了自己不寻常的发现, 情景大概是: 两匹马拉着一条船在狭窄的

河道中快速的向前行驶, 行驶一段距离后让船突然停下, 可以看到被船推动的水团

还在继续向前快速移动, 因撞击到静止的船而聚集在船头的周围, 这些水团就变为

一些大水峰高高耸起, 这些水峰轮廓分明, 孤立高耸, 之后又快速离开船头向前移

动. 一段时间后, 水峰仍以较快的速度向前进, 同时形状也没有发生改变. 大约一到

二英里路之后, 水峰的高度开始下降, 渐渐的消失在狭窄的河道中…….".

此后, 有科学家用数学方法验证了孤立波的存在性, 尽管也得到了一些有价值

的方程, 但对孤立波的现象并不能作出合理的解释. 1895 年, 数学家 Korteweg 和他

的博士生 Vries 建立了浅水波的数学模型[2], 即著名的KdV 方程:

6 ( 0

t x xxx

u uu u  非线性项）（色散项）（流体力学方程）

并根据此模型求出了脉冲状孤立波解, 和Russell 发现的孤立波现象一致, 从而在理

论上肯定了孤立波的存在性. 孤立波的存在性虽然得到了证实, 但孤立波的稳定性

仍然受到人们的怀疑. 20 世纪 50 年代, 著名的物理学家 Fermi, Pasta 和Ulam 利用

第一台大型计算机"Maniac I"进行了实验的数值研究. 证明了能量达到平衡的经典

概念是错误的, 该实验就是著名的FPU 实验[3]. 后来 Toda 正确解答了FPU 实验的

问题, 通过近似模拟晶体的非线性振动, 得到晶体振动的孤立波解.

彻底打破人们对孤立波稳定性怀疑的是美国的两位应用数学家 Kruskal 和

Zabusky. 1965 年这两位应用数学家对等离子体中孤立波碰撞的过程进了进一步的

研究, 通过数值模拟方法发现, 相互碰撞之后孤立波的波形和速度都不会发生变换,

这一结论的提出彻底解除了人们从前对孤立波稳定性的怀疑[4].

20 世纪 60 年代以来，孤立子的研究有了突飞猛进发展. 除了在流体, 还有在

固体物理、激光、电气工程、等离子体、生物学等领域相继发现了孤立子的存在.

而且在数学领域, 逆散射方法的提出与推广, 也为求解孤立子演化方程提供了有力

的数学工具.

在超导研究方面, 约瑟夫逊(Brian D Josephson)效应中的磁通量子实际上就是孤

立子, 于是将孤立子的研究方法引入进来, 现已经促进在研发耗能特别小、速度特

别快的新型计算机器件上有新进展.

在生物学方面, 发现了达维多夫(Davydov A S)孤立子, 探讨了生物体蛋白质中

孤立子的传播问题, 为弄清肌肉收缩的机制提高了有力的途径.

非线性 KdV-Burgers-Kuramoto 方程的精确解及不可积性

孤立子在高科技方面最有代表性的成功应用是光纤维中的光孤立子(也称光孤

子). 它具有长距离传输损耗小, 无线中继站, 比特率高等优点. 联合国教科文组织、

国际原子能机构和国际理论物理中心于1955 年2月在意大利联合召开了 “光纤中

超速传输系统” 会议, 其内容主要是讨论光纤中的孤立子问题. 现普遍认为, 光纤孤

立子通信有希望成为超高速率和超长距离通信的重要手段.

1.2 非线性偏微分方程的介绍

非线性偏微分方程是数学研究中的一个重要课题, 在纯数学和应用数学的研

究中占有重要地位. 很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏

微分方程的研究. 随着研究的深入, 有些原先可用线性偏微分方程近似处理的问题,

也必须考虑非线性的影响, 所以对非线性偏微分方程的研究, 特别是对非线性偏微

分方程解析解求解的研究就显示出了很重要的理论和应用价值. 对非线性偏微分

方程的求解方法和性质等问题的研究在 19 世纪末就已经开始, 但由于非线性偏微

分方程的复杂性, 至今仍有大量的重要方程无法求出精确解, 即使已经求出精确解,

也各有各的技巧, 至今尚无一般的求解方法, 但是随着科学技术的发展和一些软件

的问世, 人们提出了许多新的求解方法和技巧[5].

大量新的非线性偏微方程不断从各个学科的研究中出现, 到目前所发现的具

有物理意义的非线性偏微分方程有几百多种. 这些方程大致分两类: 一类是不可积

系统, 都存在一定的耗散结构, 它们的解可能出现混沌现象. 另一类是可积和弱不

可积的系统, 这类方程一般都有一些比较好的性质, 比如可用反散射方法（IST)求

解, 可以得到孤立波解和类孤立波解的形式, 存在Darboux 变换、Bäcklund 变换、

Painlevé 性质、Hirota 双线性形式等, 其中孤立波形式的解备受关注. 经研究发现,

孤立波和孤立子并非存在于任何非线性系统, 但一定存在于具有可积性的非线性

系统中[6]. 由于孤立子在众多的自然科学领域中有着广泛的应用和研究, 因此, 能够

得到精确孤立波解的可积非线性偏微分方程是非线性科学研究的首要任务之一.

1.3 非线性偏微分方程的解法简介

孤立子理论是非线性科学研究的重要分支, 在研究孤立子的过程中, 我们都是

以非线性偏微分方程作为实际问题的载体, 把对非线性偏微分方程的求解看作是

寻求孤子的突破, 故研究孤子及孤子间的相互作用, 不但有利于理解孤子在非线性

作用下的运动规律, 而且还推动了相关科学的发展, 使得在数学科学上难以求解的

非线性偏微分方程的求解方法和技巧得到了发展. 随着孤立子理论的发展, 科学家

们已经得到了许多求解非线性偏微分方程的有效方法, 常用的方法有 Darboux 变换

法[7-21]、双线性方法[22-26]、Painlevé 分析法[27-33]、反散射法[34-36]、Bäcklund 变换

法[37-39]、函数展开法[40-42]、首次积分法[43-45]等. 这些方法并不是对所有的非线性

方程都有效, 每种方法都有它的适用范围, 求得的解也只是符合条件的部分精确解,

但它们也不都孤立存在, 也有相互融合和渗透的现象. 如反散射法在求解非线性发

展方程时, 既要验证方程的可积性, 又要找出方程对应的 Lax[46]对, 但Painlevé 方法

就可以验证方程的可积性, 求解 Lax 对. 用Bäcklund 变换法求解时, 要用到 Painlevé

分析截断展开法求 Bäcklund 变换, 而在 Painlevé 分析截断展开方法中又用到了齐

次平衡方法确定了首项. 下面简单介绍部分求解非线性偏微分方程（组）的主要

的方法.

1 Darboux 变换法

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非线性KdV-Burgers-Kuramoto方程的精确解及不可积性摘要本文主要用指数函数展开法和Tanh函数展开法研究了具有耗散项和不稳定效应的KdV-Burgers-Kuramoto方程的孤波解,同时还得到了它的一些副产品的函数形式的精确解.并分别利用WTC方法和推广的Painlevé展开法检测了KdV-Burgers-Kuramoto方程的Painlevé不可积性,然后分别用标准截断和非标准截断展开求得了KdV-Burgers-Kuramoto方程的孤波解.第一章简单介绍了孤立子理论的发展历程与研究现状,求解非线性系统的几种重要方法以及本文所研究的非线性系统的来源及物理意义和本文的主要内...

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