高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质分析

VIP免费

3.0 牛悦 2024-11-11 4 4 3.11MB 45 页 15积分

侵权投诉

第一章绪论

高阶色散非线性薛定谔方程的

畸形波及其性质分析

摘要

由于畸形波所特有的性质及特征，近年来在光纤通信及海洋科学领域对畸形

波的研究越来越多，求解不同方程的畸形波解具有重要的现实意义．

本文研究了高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质．首先，我们分析

了修正的达布变换这一过程，并指出了它与传统的达布变换的显著不同．接下来，

我们便利用这种方法结合待定系数法首次求得了高阶色散非线性薛定谔方程的一阶

二阶有理解，这些有理解对应的便是畸形波，其中，一阶和二阶有理解均含有两个

自由参数．除此之外，我们还给出了将对称关系利用其中的一阶有理解求解过程．

在以上结果基础之上，我们给出了对应于特定自由参数下的畸形波图以及它们的等

高线图，借助畸形波的等高线图并利用数值求解方法，求得了每个图像的极值点和

极值点坐标，并分析了它们之间的位置关系，这一过程中，我们还分析了小扰动对

畸形波形状的影响以及自由参数的选取与畸形波数量之间的关系．最后，我们对高

阶和低阶色散非线性薛定谔方程的一阶有理解之间的线性关系进行了定量计算，得

出它们之间并不存在线性关系，只有在没有扰动时，高阶色散非线性薛定谔方程的

有理解会退化为低阶色散非线性薛定谔方程的有理解，此外，我们还对方程的一阶

二阶有理解进行傅里叶变换，以对该方程对应的畸形波进行频谱分析，这项工作对

畸形波的预测有一定的帮助．

关键词：高阶色散非线性薛定谔方程有理解畸形波修正的达布变换

傅里叶变换

高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质分析

ABSTRACT

In recent years, studies on rogue waves have been very popular in the optical fibers

and the ocean science.

T h i s d i s s e r t a t i o n f o c u s e s o n t h e s o l u t i o n s a n d p r o p e r t i e s o f r o g u e w a v e s o f t h e

higher-order dispersive nonlinear Schrödinger (HDNLS) equation. Firstly, we explain

the p r oc e s s of m o d i f ied D arbo u x t r a ns f o rmat i on ( m D T) a n d p o i nt o u t t h e s i g n ifi c ant

d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m D T a n d t h e t r a d i t i o n a l D a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n ( D T ) .

Secondly, we use the method of mDT and undetermined coefficients to get the first- and

second-order rational solutions of the HDNLS equation, the pictures of which are rogue

waves. There are two free parameters both in the fist-order and second-order rational

solutions. The procedure which use the property of symmetric is also be presented in

this dissertation. Based on above results, we plot the figures of these rational solutions

and the contour maps of them by taking specific free parameters. With the help of these

c o n t o u r f i g u r e s a n d t h e n u m e r i c a l m e t h o d , w e f i n d o u t t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m

po i nt s o f e ve r y ra t i o na l s ol u ti o n. A t t h e sa me t i m e , w e a l s o a n al y z e t h e i n f l u e n c e of

l i t t l e p e r t u r b a t i o n w i t h t h e h e l p o f g r a p h i c a l s i m u l a t i o n . F i n a l l y , w e e x p l o r e t h e

coordinate transformation between the rational solutions of the HDNLS equation and

the nonlinear Schrödinger (NLS) equation. Based on the calculation, it can be obtained

that this transformation does not exist. The rational solutions of the HDNLS equation

change into rational solutions of the NLS equation when the little perturbation equals 0.

Additionally, the Fourier transforms of these rational solutions have been gotten, this

study may be useful to predict the appearance of rogue waves.

Key Word：Higher-order dispersive nonlinear Schrödinger Equation,

Rational solution, Rogue waves, Modified Darboux transformation,

Fourier transform.

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论.......................................................1

1.1畸形波与高阶色散非线性薛定谔方程的研究近况...................1

1.1.1畸形波的研究近况.........................................1

1.1.2高阶色散非线性薛定谔方程的研究近况.......................4

1.2 本文问题来源及研究内容......................................6

1.3 本文的创新点................................................9

第一章绪论

第二章修正的达布变换与高阶色散非线性薛定谔方程的有理解..........10

2.1 高阶色散非线性薛定谔方程的拉克斯对及修正的达布变换.........10

2.2 高阶色散非线性薛定谔方程的有理解族.........................12

2.2.1高阶色散非线性薛定谔方程的一阶有理解族..................13

2.2.2高阶色散非线性薛定谔方程的二阶有理解族..................17

2.2.3小结....................................................21

2.3 利用对称求解高阶色散非线性薛定谔方程的有理解族.............22

第三章高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波性质及其相互作用..........24

3.1高阶色散非线性薛定谔方程的一阶有理解的性质..................24

3.2高阶色散非线性薛定谔方程的二阶有理解的性质..................27

3.3对高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波可预测性的探讨............32

3.3.1 准备知识...............................................32

3.3.2对高阶色散非线性薛定谔方程的有理解作频谱分析............33

3.4低阶色散非线薛定谔与高阶色散非线性薛定谔方程的有理解之间的线性关

系........................................................36

第四章结论与展望................................................38

4.1 结论.......................................................38

4.2 展望.......................................................39

参考文献.........................................................40

第一章绪论

本章简要叙述高阶色散非线性薛定谔方程和畸形波解的研究近况，以及本文

所研究问题的来源，着重介绍现阶段求解高阶色散非线性薛定谔方程畸形波解的方

法及其性质分析的研究情况、本文主要内容和创新点．

1.1 畸形波与高阶色散非线性薛定谔方程的研究近况

1.1.1 畸形波的研究近况

畸形波（freak waves），又称为异常波（abnormal waves）、巨波（ giant

waves）、怪波（ rogue waves）等，是人们在海洋表面可以观测到的一种现象，

既可以在深海中也可能在前海中出现[1-3]．畸形波的概念最早是由Draper在1965年首

次提出的，但至今仍没有一个统一的名称和定义[4]，在对它的描述中，Kimura的描

述较为恰当，他认为，“畸形波是一个高于它周围波浪，具有较高波峰的短峰波

（而且是单峰），它跟周围相邻的波浪几乎没有相关性（这也导致了对它进行预测

的困难性）．它有一个很大的波峰，却不一定有一个相对应的如此显著的波谷．它

存在的时间很短，很快出现然后很快又消失”[5]．上面的定义较为全面地概况了畸

形波的特征，除此之外，它还有一些特征，如波面具有很强的非线性（这意味着非

线性方程对它的描述更好一些），发生的范围很广，包括深海和近海，包括暴风雨

天气和正常天气等．畸形波通常带有较深的波谷和很高的波峰，它们的波谷发生在

最大波峰之前或者之后（由文章中第三章的分析可以清楚的看到这个特征），在出

现之前几乎没有可观测到的预兆来预测，从而人们总是称这种波“毫无来源，可以

引起巨大的破坏，又会在一瞬间消失”[6,7]．

近些年来，人们对畸形波的关注度越来越高，世界各地关于畸形波的记录也很

高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质分析

丰富，其中最早的记录是1896年因为畸形波的出现而导致葡萄牙Spray号船的倾覆

之后随着“畸形波”这一概念的提出，关于它的记录也越来越详细．以下是几个国

际上具有详细记录的畸形波．

（1）日本海域

众所周知，日本境内多山且地震、火山频发，近一段时间的海啸更是给日本带

来了巨大的困扰，在这样的地貌前提下，日本同时也具有丰富的畸形波发生记录，

1986-1990年间，在日本海Yura渔港三公里处至少记录了六次畸形波[5,8-11]．

（2）北海

1995年1月1日，在北海，人们第一次利用相关的科技仪器完善地记录了一次畸形

波，该畸形波是目前为止记录最完善地一次，它的最大波高接近29米，波谷约为7

米，呈现出了明显的不对称性．由于它当时袭击了采油平台Draupner，因此被命名

为“Draupner wave”，还因为它发生在元旦，也称之为“新年波”（New Year

Wave），有关它的记录很详尽 [9,10,12]，下面是它的波峰随时间变化的图表．

图 1-1 北海“新年波”的时间记录图 1-2 对“新年波”时序记录的放大

（3）中国海域

我国海岸线绵长，海洋资源丰富，海洋地质、地貌复杂，也有对于畸形波的记

录，其中比较为人熟知的资料，是CHIEN等人在台湾作的长期数据检测，他们观

测到了一段时间内畸形波的数量以及带给台湾沿岸渔民、船只的损害[9,12]．不仅如

此，台湾的各媒体也对这种畸形波造成的事件进行了多项报道，这些事件表明，在

中国海域，畸形波出现的几率也非常大，这也促进了我国对的畸形波研究．

以上是几个海域关于畸形波的有关记录，此外还有黑海海域、南非东海海域等

等的相关记录，事实上，世界范围内各海域几乎都有关于畸形波的相关观测记录，

尤其在近海，这也再次说明了上面提到的畸形波的特征之一——可以发生在任何海

域．

畸形波出现的地方，总是伴随着巨大的力量，从而给人们带来包括生命和财产

多方面的庞大损失，为什么畸形波有这么大的力量呢？我们从能量方面进行简单的

阐述．畸形波在出现之前，海平面在很大范围内是平静的，它只在很小的范围内拥

有高于周围数倍（通常为2-4倍）的振幅，从能量角度分析，畸形波的这种特征表

明它将绝大部分的能量聚集在了一个很小的范围内（后面章节的能量计算也说明了

这一点），这就解释了畸形波的出现的瞬间为什么能够产生巨大的力量，甚至将巨

大的船舶撕裂．以往的工作在畸形波的成因方面有很多探讨[13-15]，本篇文章是从方

程的有理解角度对其进行简单解释，这方面非线性理论比线性理论要有优势，可能

影响畸形波生成的因素很多，但非线性对波的影响无疑是最本质的．非线性理论认

第一章绪论

为，它的出现是与不稳定性的增长有关的，最初不稳定的体现可能非常小，但是随

着时间的发展，这种不稳定会增加，虽然这种增长的速度可能非常低，但是海平面

的宽广程度对于形成它的形成提供了可能性，即使是在平静的海平面上，此时，振

幅也许不是特别大，但聚集的能量集中爆发且它同时具备不可预测性及非常规特性

对于海洋中的船只及其船员来讲，影响是致命的．正是由于它的非常规特征，最初

虽然很多船员描述这种“水墙”（畸形波）但是由于发生在一瞬间，且破坏性太大

使得最初只有语言描述但没有具体监测数据，从而没有足够的说服力，也没有吸引

学者们对它的注意力．直到上个世纪六七十年代，才开始对这类现象有了较多的研

究，并且在本世纪初有了更深一步的研究，这些研究涉及物理、地球科学及海洋科

学等多学科，成为了一个活跃度很高的交叉性学科，数学中非线性方程解法以及热

力学中的傅里叶变换都是研究畸形波的有力工具．

前面提到畸形波的发生可以在任意深度的海域被观测到，即使是在没有风的情

况下也可以形成畸形波，因此如果能够对这种危害极大令人们恐惧的畸形波进行预

测，将会有很价值——可以增进人们对于海洋中各种情况的了解以降低航海的危险

性．现有的研究成果已经在光纤通讯、等离子体物理及金融领域中已经得到了相关

的运用[16]．

以上主要是畸形波在海洋科学中的发展近况，除此之外，由于畸形波拥有同孤

立波相同的一个性质——传播过程中不会改变它们的形状或波长（畸形波解是可以

通过对呼吸子解取极限得到的[6,17]），因此在光纤通讯中，畸形波也可以用于信息

传递，以保证传递过程中信息的真实性及安全性[18-22]．这种畸形波在金融业中也发

挥过重要作用，1997年，Morton和Schokes建立了期权定价理论，从而获得了那一

年的诺贝尔经济学奖，但是当时他们所建立的理论并不能解释金融风暴．这一问题

得到解决，是因在2009年由Ivancevic建立的期权价格模型，在Ivancevic建立的期权

价格模型中，含有两个畸形波解，金融风暴的形成便是由这样的两个畸形波进行解

释[23-25]．

近二三十年对畸形波的现象有很多的研究，作为一个近些年来才发展起来的方

向，很多其他的学科知识都可能应用于其中，这种最初被发现于海洋的畸形波，现

在已不仅仅局限于海洋科学之中．事实上，非线性科学发展到现在，畸形波的发现

及其理论，对非线性科学理论的发展有巨大的推动作用，其中包括对科技系统和非

稳定性，高阶的统计和再次揭示的物理影响中有很多的应用[26,27]．现在，已经观测

到并被记录的有上百种畸形波，目前有准确记录的最大的畸形波为1933年美国军舰

在太平洋遭遇到的高达34米的畸形波．一般的畸形波的最高振幅是周围振幅的2-4

倍，有些波的最高点比周围的波要高四倍以上，已经有理论预测，这种波的理论峰

值可以达到比观测到的更高的高度[28]．目前在畸形波研究领域，仍然还有很多问题

没有被解决，比如，是否有其他类型的畸形波，现实生活中的畸形波会不会超越人

的预期，畸形波形成的本质原因等等问题[26,27]．

1.1.2 高阶色散非线性薛定谔方程的研究近况

从奥地利物理学家薛定谔(1887一1961)于1926年建立薛定谔方程开始，由于它

能够很好地描述很多现象，80多年过去了，对薛定谔方程的研究还在继续，有关理

论还在生机勃勃地向前发展着．在物理学研究中，薛定谔方程的相关理论有着非常

重要的作用．随着研究的深入，人们发现很多现象及原理利用线性方程很难去准确

地表示出来，而相对应的非线性方程有很大的优势，物理学中，非线性薛定谔方程

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

15 积分 4人已下载

立即下载 VIP免费下载

摘要：

第一章绪论高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质分析摘要由于畸形波所特有的性质及特征，近年来在光纤通信及海洋科学领域对畸形波的研究越来越多，求解不同方程的畸形波解具有重要的现实意义．本文研究了高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质．首先，我们分析了修正的达布变换这一过程，并指出了它与传统的达布变换的显著不同．接下来，我们便利用这种方法结合待定系数法首次求得了高阶色散非线性薛定谔方程的一阶二阶有理解，这些有理解对应的便是畸形波，其中，一阶和二阶有理解均含有两个自由参数．除此之外，我们还给出了将对称关系利用其中的一阶有理解求解过程．在以上结果基础之上，我们给出了对应于特定自由参数下的畸形波图以...

展开>> 收起<<

高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质分析.doc

共45页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

高阶色散非线性薛定谔方程的畸形波及其性质分析

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: