关于几类椭圆型问题解的可去奇点的研究

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3.0 牛悦 2024-11-11 6 4 270.01KB 32 页 15积分

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摘要

本文主要研究了两类椭圆型方程和一类椭圆型方程组解的奇点的可去性问题,

在一定条件下证明了方程及方程组分布意义下解的奇点是可去的.文章所用主要技

术是选取合适的试验函数,通过分部积分对解进行估计.本文所研究的方程是退化

的椭圆型方程,处理过程的难点是试验函数的选取.

本文分为四章：在第一章绪论部分介绍了一些主要历史背景,回顾了关于奇点

的研究已取得的成果,列出了需要的一些基本不等式和定理,最后介绍了本文的主

要工作.

在第二章,作者证明了一类半线性椭圆型方程在分布意义下解的可去奇点问题.

首先在

上构造一个函数,根据需要将其作适当的形式变换后得出方程的解与所

构造函数的关系,然后取不同的试验函数与截断函数对方程的解进行估计,从而证

明椭圆型方程解的奇点是可去的.

在第三章,作者证明了一类拟线性椭圆型方程解的可去奇点问题.先构造一个

函数,再对方程的解所满足的不等式分部积分,然后作放缩处理,并运用椭圆型方程

的正则性理论得出原方程解的奇点是可去的.

在第四章,作者证明了一类半线性椭圆型方程组解的可去奇点问题.在假设此方

程组有分布意义解的前提下,根据两个方程的关系对它们分别作处理,最后得出奇

点是可去的.

关键词：椭圆型方程可去奇点截断函数试验函数

ABSTRACT

This paper mainly studies the removable singularities of the solutions for two

classes of elliptic equations and a class of elliptic equation set, we prove that the

singularities of the solutions(in the sense of distribution ) for equations or equation set

are removable under certain conditions. The main technology of this paper is selecting

appropriate test functions and estimating the form of the solution. The character of the

equation is degenerate elliptic equation in this paper, and the difficult point of the

process is the selection of test function.

This paper consists of four parts: In chapter 1, we talk about the main background

and the achievement obtained in the study of singularity, including some important

inequalities and theorem .At the end, we give the main results of this paper.

In chapter 2, we study the removable singularities of the solution for a class of

semilinear elliptic equation. First, we construct a function in a domain of

, then we

can get the relationship of the solution of equation and the constructed function by

changing the solution into proper form. Next, we choose different test functions and

truncation function to estimate the solution of the equation. Finally, It is proved that the

singularity is removable.

In chapter 3, we study the removable singularities of the solution for a class of

quasilinear elliptic equation. The solution is controlled by constructing function, then

we integrate the inequality about the solution of equation.We conclude with the

regularity theory of elliptic equations that the singularity is removable.

In chapter 4, we investigate the removable singularity of the solution for a class of

semilinear elliptic equation set. By dividing the equation set into two parts, we can

conclude that the singularity is removable.

Keywords: elliptic equation, removable singularity, truncation

function, test function

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ....................................................................................................... 1

1.1 相关背景 .................................................................................................... 1

1.2 本文主要工作 ............................................................................................. 5

第二章一类半线性椭圆型方程解的可去奇点问题............................................ 6

2.1 引言 .......................................................................................................... 6

2.2 重要引理定理 ............................................................................................. 7

2.3 主要结果的证明 ........................................................................................ 11

第三章一类拟线性椭圆型方程解的可去奇点 ................................................. 13

3.1 问题的提出 .............................................................................................. 13

3.2 重要引理定理 ........................................................................................... 14

3.3 主要定理证明 ........................................................................................... 18

第四章一类半线性椭圆型方程组解的可去奇点 ............................................. 20

4.1 引言 ........................................................................................................ 20

4.2 重要引理定理 ........................................................................................... 21

4.3 主要结果的证明 ....................................................................................... 24

参考文献 ............................................................................................................. 27

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .................................... 30

致谢 ................................................................................................................... 31

第一章绪论

1.1 相关背景

椭圆型方程的研究领域广,内容丰富,体系庞大,问题繁多,方法多样.一直以来,

椭圆型方程解的奇点问题是偏微分方程领域的重要研究内容.许多著名学者如

Brézis H, Véron L [1-3], Vázquez J L, Serrin J等[9-13]对非线性椭圆型方程解的性质做

了深入的研究,关于解的可去奇点也做了详细的分析讨论.

此部分主要基于参考文献[1-13]介绍非线性椭圆型问题在分布意义下解的奇点

可去性问题研究所取得的成果.对于非线性椭圆型方程：

()0

ugu

−∆+=

′

∈Ω

其中

{0}

′

Ω=Ω−

Ω

是

中包含 0的开子集.1979 年,Brézis H, Véron L在文献[1]

给出如下结果：

假设 2

()

′

∈Ω

且满足

uuuCx

−

′

−∆+≤∈Ω

这里 C是常数,则可推出

limsup()

xux

→

<+∞

接下来,若2

()

′

∈Ω

且满足

10,

uuux

−

′

−∆+=∈Ω

≥

/(2)

pNN

≥−

，

则在

Ω

上存在一个属于

的函数

′

,且

′

与

在

′

Ω

上几乎处处相等.具体来讲有如

下主要定理：

定理 1.1.1 假设

()

loc

∞

′

∈Ω

,使得 1

()

loc

′

∆∈Ω

（在分布的意义下）,且满足

uuuC

−

−∆+≤

在

{,()0}

xux

∈Ω≥

上几乎处处成立, 这里

0,0

,则

()

loc

+∞

∈Ω

定理 1.1.2 假设

()

loc

∞

′

∈Ω

且满足

()0,()

uguxD

′′

−∆+=∈Ω

则在

Ω

上存在一个属于

的函数,且此函数与

在

′

Ω

上几乎处处相等.这里

gCRR

∈→,且满足

/(2)

()

liminf0

()

limsup0

−

→+∞

−

→−∞











随后, Vázquez J L, Véron L,在文献[2]中运用椭圆型方程的正则性理论证明了如

下拟线性椭圆型问题的可去奇点问题

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摘要：

摘要本文主要研究了两类椭圆型方程和一类椭圆型方程组解的奇点的可去性问题,在一定条件下证明了方程及方程组分布意义下解的奇点是可去的.文章所用主要技术是选取合适的试验函数,通过分部积分对解进行估计.本文所研究的方程是退化的椭圆型方程,处理过程的难点是试验函数的选取.本文分为四章：在第一章绪论部分介绍了一些主要历史背景,回顾了关于奇点的研究已取得的成果,列出了需要的一些基本不等式和定理,最后介绍了本文的主要工作.在第二章,作者证明了一类半线性椭圆型方程在分布意义下解的可去奇点问题.首先在NR上构造一个函数,根据需要将其作适当的形式变换后得出方程的解与所构造函数的关系,然后取不同的试验函数与截断函数对...

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