环境噪声对微生物连续培养动力学行为的影响

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3.0 牛悦 2024-11-11 5 4 2.09MB 41 页 15积分

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环境噪声对微生物连续培养

动力学行为的影响

摘要

在微生物连续培养过程中存在着许多随机因素, 影响着微生物培养的各个环

节, 如(由不可控实验条件而带来的)噪声对培养液浓度的影响、对微生物死亡率

的影响以及对营养转化率的影响, 另外数据测量的误差也会对实验带来干扰等.

为了更合理地利用数学模型描述恒化器中微生物的生长情况, 本文在以往确定性

模型中进一步考虑随机因素和时滞因素的影响, 建立了相应的随机恒化器和随机

时滞恒化器模型, 并结合数值仿真来揭示噪声影响下的不含时滞和含时滞的恒化

培养的动力学行为, 主要内容如下:

第一章概述了随机系统的研究背景和意义以及该领域的研究现状, 同时总结

了随机微分方程理论在生物数学领域的应用情况, 最后介绍了本文的研究结果,

并回顾了随机微分方程的一些基本概念及相关稳定性理论.

第二章假设恒化器输入营养的浓度和稀释率同时受到白噪声的影响, 建立了

具有第二类功能性反应函数的随机恒化器模型. 首先证明了随机模型正解的全局

存在唯一性; 其次通过构造 Lyapunov 函数的方法研究了在不同条件下随机模型

的解围绕其相应确定性系统的正平衡点和绝灭平衡点的振荡行为; 最后数值模拟

对所得结论进行了验证.

第三章假设只有营养的转化率受到白噪声干扰, 建立了具有第二类功能性反

应函数的随机恒化器模型. 通过构造 Lyapunov 函数, 利用伊藤公式和停时理论,

证明了模型正解的全局存在唯一性; 研究了模型解的渐近性态, 主要探讨在不同

条件下模型的解围绕其相应确定性模型的正平衡点和绝灭平衡点的振荡行为. 最

后通过数值仿真验证了所得结论.

第四章研究了营养的转化率受到噪声干扰, 并在转化过程中微生物对营养的

吸收受到时间滞后影响的一般功能性反应函数的随机时滞恒化器模型, 通过研究

此系统围绕正平衡点的渐近行为来阐述随机时滞对微生物正生存的影响. 最

后通过 Matlab 数值仿真对所得结果进行验证.

关键词: 随机恒化器模型布朗运动伊藤公式渐近行为时滞

ABSTRACT

There are many uncertain and random factors in the process of continuous

cultivating microorganism, which influence each link of it. Such as, due to the white

noise, which effected in the concentration of nutrient solution, in the mortality of

microorganism, in the nutrition conversion rate; moreover, measurement errors that

appear in experiment etc. In order to enhance the artificial operability and the

efficiency in the process of continuous cultivating microorganism, we incorporate

white noise and delay in the deterministic model before by taking into account the

effect of randomly fluctuating environment. Combining mathematical reasoning and

numerical simulation, we aim to disclose the dynamic properties of the stochastic

models and the delayed stochastic models. The main contents are as follows:

In the first chapter, a brief summary of research background and significance of

stochastic system is given. Then we introduce some newly development for the using

of stochastic differential equation in the field of biological research in mathematics. In

the end, we state the main results obtained in this paper. Furthermore, we review some

definitions of stochastic differential equation and show some lemmas of the existence,

uniqueness and global stability of the solution to stochastic different equations.

In the second chapter, we consider a stochastic chemostat model in which both the

input concentration of nutrient and the dilution rate are influenced by white noise.

First, we prove the global existence, uniqueness of the positive solution. Then, we

investigate how the solution is oscillating around the positive equilibrium and the

extinction equilibrium of the corresponding deterministic model under different

conditions. Finally, numerical simulations are carried out to illustrate our results.

In the third chapter, we consider a stochastic chemostat model with Holling II

functional response and the nutrition conversion rate being influenced by white noise.

By constructing stochastic Lyapunov function and using Ito's formula and stopping

time, we show that there is a unique positive solution to the system with positive

initial value. The long time behavior of the system is studied. Mainly, we show how

the solution goes around the equilibriums of the corresponding deterministic system

under different conditions.

In the forth chapter, we consider a delayed stochastic chemostat model with

general functional response and the nutrition conversion rate being influenced by

white noise. Then, we investigate how the solution is oscillating around the positive

equilibrium of the corresponding deterministic model under different conditions. At

last, computer simulations describing how the solution goes around the positive

equilibrium of deterministic system under different conditions are carried out.

Key Words: Stochastic chemostat model, Brownian motion, Ito's

formula, Asymptotic behavior, Time-delay

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论...............................................................................................................1

1.1 课题研究背景及意义......................................................................................1

1.2 研究概况..........................................................................................................2

1.3 本文的研究结果..............................................................................................3

1.4 预备知识..........................................................................................................4

1.4.1 维随机微分方程...................................................................................4

1.4.2 维随机时滞微分方程...........................................................................5

第二章具有多个参数随机扰动的恒化器模型研究...............................................7

2.1 模型的建立......................................................................................................7

2.2 系统(2.1.3)正解的全局存在唯一性...............................................................8

2.3 系统(2.1.3)的解围绕的振荡行为...........................................................10

2.4 系统的解围绕的振荡行为......................................................................14

2.5 仿真与讨论....................................................................................................19

第三章具有第二类功能性反应函数的随机恒化器模型的渐近行为分析.........22

3.1 模型的建立....................................................................................................22

3.2 正解的全局存在唯一性................................................................................23

3.3 绝灭平衡点的全局渐近稳定性....................................................................25

3.4 系统(3.1.2)的解围绕的振荡行为...........................................................28

3.5 数值仿真与讨论............................................................................................31

第四章具有一般增长函数的随机时滞恒化器模型的研究.................................34

4.1 模型的建立....................................................................................................34

4.2 系统(4.1.3)的解围绕的振荡行为............................................................35

4.3 数值仿真与讨论............................................................................................38

参考文献 ................................................................................................................. 4 1

第一章绪论

1.1 课题研究背景及意义

最近几十年, 许多学者致力于研究确定性的生态数学模型, 在生态的研究方面

取得了大量的成果, 对揭示生态现象的机理起到了推动作用. 这样做的好处就是把

问题大大地简化, 为研究带来方便. 然而在现实世界的生态系统中, 各种各样随机

因素的干扰无时不在、无处不在[1,2], 不同程度地影响到生物生长的各个方面. 特别

的, 如研究如何保护濒危物种时, 由于样本空间太小, 忽略随机因素的作用可能会

产生较大的偏差, 完全不适宜使用确定性的模型. 因此, 在某些实际情况下, 忽略系

统的随机性, 用确定性模型对系统行为所作的描述和预测并不总是令人满意, 若使

用随机模型来分析生物的行为会和实际上情况符合得更好一些.

May(2001)曾指出, 环境噪声会不同程度地影响到增长率、竞争系统、环境容量

和系统的其他参数, 生物种群个体的数也远没有通常容器中液体分子的数目那样

多. 几乎所有的实际观测资料都表明, 生物生长过程的随机波动是明显的, 且这种

随机波动很大的概率一般并不小. 因此, 为了适应不同的实际需要, 以便对客观实

际有更加全面的了解和认识, 在某些情况下, 有必要使用随机的数学模型来描述生

态系统.

目前, 不少学者致力于随机生物数学的研究工作. 如王克[3]考虑了含有第二类

功能性反应函数的比率依赖的种群生态模型中的内禀增长率受噪声干扰, 建立了

相应的随机系统, 对系统的永久性和平均随机正进行了研究 ; 蒋达清[4] [5]等人分别

对有比例依赖的种群的内禀增长率和死亡率进行扰动, 得到了相应的随机系统, 首

先证明了解的全局存在唯一性, 接着利用伊藤公式证明解的均方有界性, 得到了系

统正的条件, 最后用数值模拟验证所得结论的正确性; 姬春艳[6]讨论了多维 SIR 模

型, 考虑传染率受噪声影响的随机模型, 给出了无病平衡点和地方病平衡点全局随

机渐近稳定的条件, 并给出了仿真图. 揭示了噪声因素对种群生存和疾病传播带来

的影响, 更加真实的反映了生态和疾病传播的机理.

此外, 众多的实际系统的状态还或多或少与系统的历史有关. 即, 系统的历史

会影响其现状和将来的发展, 这种现象称为滞后效应, 具有滞后效应的动态系统称

为时滞系统. 例如, 种群密度变化对于增长率的影响效应不是瞬时发生的 , 而是有

时间延迟的, 与过去的生活状态有关; 又如, 由于信号的传输和转换需要一定时间,

使通信系统和网络控制系统存在时滞效应; 且金融和保险待经济领域也都存在一

定的时滞效应. 因此, 随机时滞系统的研究也成为许多生物爱好者关注的热点之一.

Elisabetta Tornatore 等[11]研究了不带时滞和带时滞的随机 SIR 模型, 探讨了无病平

衡点的稳定性; Edoardo Beretta 等[12]同样研究了带时滞的随机 SIR 模型, 但探讨的

是鲁棒性; 而陈国庭[13]则考虑了有确定时滞的随机 SIR 模型, 系统的证明了解的全

局存在唯一性和地方病平衡点、无病平衡点的依概率稳定性.

因此, 对随机系统和随机时滞系统的研究非常有必要, 且因为其更能反映现实

情况, 随机系统和随机时滞系统的研究成为目前生物数学研究领域非常活跃的热

点之一, 也成为一个非常重要的课题.

环境噪声对微生物连续培养动力学行为的影响

1.2 研究概况

在自然界中, 生态系统经过由简单到复杂的

长期演化形成了一个相对稳定的状态——生态平

衡, 即一定时间内生态系统(森林、草原、湖泊等)

中生物和环境, 生物各种群之间, 通过物质循环,

能量流动, 信息传递等相互作用, 使他们之间达到

高度适应, 协调和统一的状态. 在实验室里用于模

拟这种靠自我调节来实现平衡状态现象的生物反

应器是恒化器(chemostat), 它反映的是培养基的

化学环境恒定.

恒化器是一种使培养液流速保持不变, 且微

生物始终在低于其最高生长速率条件下生长繁殖

的一种连续培养装置, 最初由莫诺(J. Monod)所创

制. 恒化器一般采用的方法是: 实验操作人员通

过适当地控制以限制培养基营养物质的浓度或者

根据加入的速度来调节微生物的增殖速度. 在恒

化器中可以用糖、有机酸等碳源、铵、氨基酸缺陷

型菌作为限制性营养物质. 它在发酵工程中起着重要作用, 如进行酶合成机制、变

异、研制生物产品(如蛋白质, 疫苗等). 由于恒化器中相关参数可以通过实验测得,

并且通过数学模型分析能得到与试验结果相符的结论, 因此它成为实验室微生物

培养研究中应用较为广泛的一种理想的实验装置. 基于其在理论、实际应用上的重

要价值, 恒化器动力学模型的研究吸引着国内外大量实验技术人员、生物学者和数

学工作者的关注.

实验室中常用的恒化器装置如图1-1 所示: 培养基储器内含有微生物生长所需

的所有营养成分, 其中一种主要营养成分被称为养料, 其数量是有限的; 培养器中

包含微生物和一定浓度的营养液的混合物, 在此进行微生物的连续培养; 流出液储

器收集由培养器流出的液体.

近年来, 微生物恒化器模型的研究进展迅速, 其模型类型主要有常微分方程、

偏微分方程、脉冲微分方程、随机微分方程和时滞泛函微分方程; 有连续的, 也有离

散的. 研究的问题主要包括竞争排斥原理、稳定性、周期性、正性、分支理论、反馈控

制, 鲁棒性等. 研究的理论方法主要有: 常微分方程定性与稳定性理论[7,8,9], 脉冲微

分方程理论[10], 分支理论, 单调动力系统理论, 控制理论, 随机微分方程理论[1]等. 人

们对模型不断的进行改进和推广, 使其能够更加逼真的描述其培养过程, 如引入营

养循环、周期的输入和输出、具有营养的再生、稀释率, 初始浓度的反馈控制, 引入

白噪声和考虑时滞因素的影响等. 微生物恒化培养模型的研究几乎涉及了微分方

程研究的所有领域, 已经有了一个比较完整的雏形.

生物研究者的工作, 归根到底就是提出、检验关于研究客体的理论模型, 并运

用稳定性等理论指导人们的实践, 提高人们的生活质量. 继20 世纪恒化器竞争模型

由Monod[8], Novick 和Szilard[9]提出以来, 恒化器模型的研究越来越广泛, 并在生物

工程, 生态和种群生物学等领域起着非常重要的作用. 但通常这样的模型包含理想

化的假设, 而在现实环境中有诸多因素影响着数学建模和模型的动力学行为 , 如实

验条件控制不够严格而带来的环境的随机干扰, 信息传递过程中存在的随机干扰

图1-1 恒化器

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摘要：

环境噪声对微生物连续培养动力学行为的影响摘要在微生物连续培养过程中存在着许多随机因素,影响着微生物培养的各个环节,如(由不可控实验条件而带来的)噪声对培养液浓度的影响、对微生物死亡率的影响以及对营养转化率的影响,另外数据测量的误差也会对实验带来干扰等.为了更合理地利用数学模型描述恒化器中微生物的生长情况,本文在以往确定性模型中进一步考虑随机因素和时滞因素的影响,建立了相应的随机恒化器和随机时滞恒化器模型,并结合数值仿真来揭示噪声影响下的不含时滞和含时滞的恒化培养的动力学行为,主要内容如下:第一章概述了随机系统的研究背景和意义以及该领域的研究现状,同时总结了随机微分方程理论在生物数学领域的应用情...

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