几类加权拟线性抛物型方程解的 存在性研究

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3.0 牛悦 2024-11-11 7 4 542.57KB 49 页 15积分
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摘 要
本文主要在加权Sobolev空间
(,)
H
ΩΓ
%%
中，利用Galerkin方法，推广的Brouwer
定理及V. L. Shapiro建立的Sobolev型嵌入定理，讨论了下列三类问题：一、一类加
权奇异拟线性抛物型方程共振问题；二、具有超线性增长的拟线性抛物型方程非
平凡解的存在性；三、含跳跃非线性项的加权奇异拟线性抛物型方程共振问题.
本文共分四章. 在第一章中，概述了非线性偏微分方程问题发展背景，本 课 题
研究的意义，以 及 现阶段国内外主要研究成果. 同时本章还介绍了本文所拟解决的
主要问题以及一些预备知识，即本文证明过程中所要使用的基本假设、基本引理.
在第二章中，对高阶近特征值
0
j
λ
，在推广的Landesman-Lazer 条件下得到了
奇异拟线性抛物型方程
0
(,)(,,), (,),
,
tj
DuuufxugxtuGxt
uH
ρλρ

+=++−∈Ω

∈ΩΓ
%%
（ ）
M
非平凡解的存在性, 其中
1111
2222 00
,1
()()()()()()().
N
iijijijj
ij
uDpxpxuubxDubxuqu
σσσ
=

=−+

∑
M
在第三章中，在第二章的基础上，对同一算子
M
，研究了一类非线性项满足
超线性增长条件的拟线性抛物型方程
[
]
1
(,,), (,),
,
t
DuuufxtuGxt
uH
ρλρ
+=+−∈Ω
∈ΩΓ
%
%%
（ ）
M
弱解的存在性, 其中
(,)
fxs
满足超线性增长条件. 为了证明此结论需要建立新型
的嵌入定理.
在第四章中，通过建立拟线性算子
M
与线性算子
L
之间一种新的关系，利用
线性算子
%
L
的一些性质，得到含有跳跃项奇异拟线性抛物型方程
0
(,,)(,,), (,),
(,)
tj
DuuubxtuufxtuGxt
uH
λρρρ
−
+=++−∈Ω
∈ΩΓ
%
%%
M
非平凡解的存在性.
关键词：加权 Sobolev 空间 奇异拟线性抛物型方程 Galerkin 方法
Landersman-Lazer 条件 Brouwer 定理
ABSTRACT
In this paper, we discuss three topics. The first is existence of solutions for a class
of quasilinear resonance parabolic equations; the second is the existence of a nontrivial
solution for the quasilinear parabolic equations with superlinear growth conditions; and
the last is the resonance problem for a kind of weighted quasilinear parabolic equations
with jump term in weighted Sobolev spaces. Then，these useful results have been
obtained by using Galerkin method，the generalized Brouwer’s theorem and a weighted
compact Sobolev-type embedding theorem established by Shapiro V L in weighted
Sobolev space
(,)
H
ΩΓ
%%
.
The paper consists of four chapters. In chapter one, we mainly introduce the
developing background of the nonlinear partial differential equations, the significance
of the issue and present stage of research. State the problems what we have solved in
this paper. Furthermore, we introduce a synopsis of the main results from this paper. We
also give some assumptions and some fundamental lemmas.
In chapter 2, we deal with the existence of a nontrivial solution for a class of
singular quasilinear parabolic equation
0
(,)(,,), (,),
,
tj
DuuufxugxtuGxt
uH
ρλρ

+=++−∈Ω

∈ΩΓ
%
%%
（ ）,
M
where the so-called Near-eigenvalue is introduced for a higher eigenvalue
0
j
λ
. Then we
get an existence theorem under a generalized Landesman-Lazer type condition.
In chapter three, on the basis of chapter two, we prove the existence of a nontrivial
solution for the quasilinear parabolic equations with superlinear growth conditions
[
]
1
(,), (,),
,
t
DuuufxuGxt
uH
ρλρ
+=+−∈Ω
∈ΩΓ
%
%
%%
（ ）.
M
In this chapter the operator
M
is same as the chapter two. The nonlinear part
(,)
fxu
satisfies certain superlinear conditions. To obtain the result, we need to improve the
weighted compact Sobolev-type embedding theorem.
In Chapter four，we prove the existence of nontrivial solutions for a kind of
weighted singular quasilinear parabolic equations with jump term
0
(,,)(,,), (,),
(,).
tj
DuuubxtuufxtuGxt
uH
λρρρ
−
+=++−∈Ω
∈ΩΓ
%
%
%%
M
The result is obtained by using near-relationship between the nonlinear operator and the
linear operator.
Key Words: Weighted Sobolev Spaces, Singular quasilinear parabolic
equations, Galerkin method, Landersman-Lazer type
conditions, Brouwer’s theorem
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪论............................................................................................................1
1.1 非线性偏微分方程的发展、研究背景及意义..............................................1
1.2 现阶段研究成果............................................................................................1
1.3 本文主要工作................................................................................................4
1.4 预备知识介绍................................................................................................6
1.4.1 知识回顾.................................................................................................6
1.4.2 基本假设.................................................................................................7
1.4.3 基本引理...............................................................................................10
第二章 一类加权奇异拟线性抛物型方程共振问题.............................................13
2.1 问题提出......................................................................................................13
2.2 符号说明与补充假设 ..................................................................................14
2.3 主要结果及其证明......................................................................................14
第三章 具超线性增长的拟线性抛物型方程解的存在性 .....................................25
3.1 问题提出......................................................................................................25
3.2 符号说明与补充假设 ..................................................................................25
3.3 定理及证明..................................................................................................26
第四章 具有跳跃非线性项的拟线性抛物型方程共振问题 .................................31
4.1 问题提出......................................................................................................31
4.2 符号说明与补充假设 ..................................................................................32
4.3 主要结果及其证明......................................................................................32
参考文献................................................................................................................43
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果.......................................46
致 谢......................................................................................................................47
第一章 绪论
1
第一章 绪 论
1.1 非线性偏微分方程的发展、研究背景及意义
非线性偏微分方程作为核心的非线性科学, 是当代科学重要的研究领域之一.
物质世界的多元性主要来自非线性. 当今, 非线性偏微分方程已经广泛应用于生
态学、物理学、化学、工程学等各个学科领域, 成为解决各种实际问题的重要工具.
但是非线性偏微分方程还有许多尚未解决的问题. 因此, 近年来，有很多学者对这
些问题产生了深厚的兴趣并进行深入研究.
随着科学的发展, 偏微分方程中问题越来越繁多, 越来越困难, 解决的方法也
越来越先进. 同时, 数学家们在建立复杂偏微分方程的一般理论时发现, 即使方程
是线性的, 处理的程度也非常复杂. 至于非线性方程, 人们只能分别针对各种问题,
提出相应解决办法, 没有统一的解决方法.
在20 世纪30 年代以前的200 年中, 偏微分方程和物理学、力学、几何学等
方面有紧密的联系. Hilbert 在1900 年的巴黎国际学术会议 100 周年纪念会上的发
言中提出了著名的二十三个问题, 其中有三个是与偏微分方程有关. 从此, 偏微分
方程理论的研究获得了巨大的推动, 逐步产生了偏微分方程的系统理论. 上世纪
30 年代开始, 为解决线性及非线性偏微分方程的问题, 建立了泛函分析方法. 这种
方法不仅为偏微分方程提供了工具而且在实践中得到了广泛的应用.
直到 20 世纪四十年代, 为了建立偏微分方程的一般理论, 产生了局部凸空间
和广义函数理论. Sobolev 空间是抽象泛函分析应用到偏微分方程理论的桥梁. 应
用Sobolev 空间, 偏微分方程可解性问题就变得简便得多了. 因为我们可以在更广
泛的函数类空间寻求问题的解. 这种解往往称为“弱解”或者“广义解”. 经过数
学家们的不断努力, 这方面的理论和方法已经取得不断的进步和发展, 从而促进
了偏微分方程的发展.
1.2 现阶段研究成果
近年来, 不断涌现的非线性微分方程问题推动了数学及相关学科的发展, 国
内外很多学者在这类问题都作出了杰出的贡献, 取得了一些著名的成果.
下面介绍一下与本文研究背景相关的一些主要成果.
1970 年, E. M. Landesman[1]和A. C. Lazer 在1
0
()
HD
空间研究了边值问题
摘要：

摘要本文主要在加权Sobolev空间(,)HWG%%6，利用Galerkin方法，推广的Brouwer定理及V.L.Shapiro建立的Sobolev型嵌入定理，讨论了下列三类问题：一、一类加权奇异拟线性抛物型方程共振问题；二、具有超线性增长的拟线性抛物型方程非平凡解的存在性；三、含跳跃非线性项的加权奇异拟线性抛物型方程共振问题.本文共分四章.在第一章中，概述了非线性偏微分方程问题发展背景，本课题研究的意义，以及现阶段国内外主要研究成果.同时本章还介绍了本文所拟解决的主要问题以及一些预备知识，即本文证明过程中所要使用的基本假设、基本引理.在第二章中，对高阶近特征值0jl，在推广的Landesm...

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