几类随机传染病模型的动力学行为研究

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3.0 牛悦 2024-11-11 7 4 1.78MB 42 页 15积分

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摘要

在传染病研究过程中，我们主要从理论上探究疾病的传播规律和发展趋势等，

找出疾病流行的原因，研究出能够控制疾病传播的方法和策略．近些年来，通过

建立数学模型研究传染病系统的动力学行为已受到广大学者的高度重视．本文主

要考虑了自然界环境白噪声的存在，在以往的确定性传染病模型中进一步考虑了

环境白噪声的影响，并建立了与之相对应的随机传染病模型，利用随机微分方程

的理论知识和数值仿真来揭示随机传染病模型的动力学行为．

文章分为四部分．

第一章为绪论，介绍了本论文的研究背景，给出了展开研究所需要的一些基本

概念和定理．

第二章，我们主要考虑了通过对系统参数恢复率引入环境白噪声的随机扰动而

得到的一类病毒自身发生变异的随机 SIS 模型．运用伊藤公式、停时定理等证明

了随机模型正解的全局存在唯一性、有界性，进而利用 Lyapunov 函数法研究了正

解的渐近行为．再借助计算机软件 Matlab 数值模拟刻画随机模型解的性质和渐近

行为．通过观察对比随机模型和原确定性模型解的曲线情况，研究了白噪声对确

定性模型的动力学行为的影响．

第三章，我们主要研究了一类具有非线性传染率的随机传染病模型．考虑在环

境白噪声的影响下，自然死亡率受到随机扰动时的情形．利用 Lyapunov 函数法讨

论了随机模型全局正解的存在唯一性，及其随机扰动下的随机模型解在确定性模

型平衡点周围的情况，以研究其动力学行为．并给出当

 

1I kI





时，随机模型

的图形模拟仿真．

第四章对全文的研究概况做一总结．

关键词：随机传染病模型伊藤公式动力学行为全局正解的存在唯一

性 Lyapunov 函数

ABSTRACT

In the study of infectious disease, we theoretically explore the law of the spread of

the disease and the development trends, seek to the main reason for the prevalence of

infectious diseases, and get some best strategies and methods to control the spread of

disease. In recent years the way through the establishment of mathematical models is to

study the dynamic behavior of infectious diseases, which has attached great importance

by the majority of scholars. In this paper, we mainly consider the presence of white

noise in the deterministic epidemic model in natural environment by taking into account

the effect of randomly fluctuating environment, and establish a random infectious model.

Using theoretical knowledge of stochastic differential equations and numerical

simulation, we reveal the dynamic behavior of the random infection model.

The paper consists of four parts.

In Chapter 1, the background of the study is given, and else, some definitions and

preliminary theorems which will be used in the following parts are introduced.

In Chapter 2, we mainly consider a stochastic SIS epidemic model with virus

auto-variation, in which the recovery rate is influenced by white noise. We prove the

global existence and uniqueness of the positive solution, by using

It o



formula and the

theory of bounded stopping, further we study the asymptotic behaviors by Lyapunov

functions. At last, some dynamical behaviors of the stochastic model solutions around

the equilibrium point of the deterministic model are investigated and then the main

statements are concluded and verified through numerical simulation method.

In Chapter 3, a kind of stochastic epidemic model with nonlinear incidence rate is

treated, which is caused by random perturbations of natural mortality. We first study the

existence and uniqueness of global positive solutions of the stochastic model by the

Lyapunov function, and then explore solutions of random perturbation stochastic model

surrounding circumstances equilibrium of the deterministic model, and the

corresponding dynamic behaviors. A graphical simulation of the stochastic model is

shown for

 

1I kI





Chapter 4 is a summary of the research profile of the full article.

Key words: Stochastic epidemic model,

It o



formula,Dynamic behavior,

The existence and uniqueness of global positive solutions，

Lyapunov function

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ..........................................................1

1.1随机流行病模型研究的意义 ........................................... 1

1.2研究的概况 ........................................................ 2

1.3 本文的研究成果 .................................................... 3

1.4 预备知识.......................................................... 4

第二章一类病毒自身发生变异的随机传染病 SIS 模型正解的全局存在唯一性和

渐近性态 ............................................................6

2.1 引言 ............................................................. 6

2.2 模型正解的全局存在唯一性 ........................................... 7

2.3 系统(2.2)的解在确定性系统(2.1)无病平衡点的渐近行为分析 .................. 9

2.4 系统(2.2)的解在确定性系统(2.1)地方病平衡点附近的渐近行为分析 ........... 11

2.5 强噪声导致疾病消失 ............................................... 14

2.6 数值模拟......................................................... 15

第三章具有非线性传染率的随机传染病模型正解的全局存在唯一性及渐近性态22

3.1 引言 ............................................................ 22

3.2 模型正解的全局存在唯一性 .......................................... 23

3.3 系统(3.2)的解在确定性系统(3.1)无病平衡点的渐近行为分析 ................. 25

3.4 随机系统(3.2)遍历性 ................................................ 28

3.5 数值模拟......................................................... 31

第四章总结和展望 ...................................................35

参考文献 ............................................................36

硕士期间公开发表的论文和承担的项目及取得的结果 ......................40

致谢 ................................................................41

第一章绪论

1.1 随机流行病模型研究的意义

随机微分方程是上世纪中期发展起来的一门新兴交叉学科，它是在常微分方

程、随机理论分析和动力系统理论基础上发展而来的一个数学理论分支．近几十

年来，随机微分方程理论发展迅速，并且开始应用于生物数学领域，参看文献[1]-[5]．

传染病作为一种能在人与人或人与动物之间可以相互传播感染的疾病，一直

以来都在危害人类生命健康．在历史的长河中，传染病曾一次又一次的肆虐流行，

给生活在地球上的人类带来了巨大的威胁和灾难．如公元 2世纪，流行于古罗马

帝国的瘟疫，国内大面积爆发，民不聊生，使得外来入侵者有机会战胜罗马帝国．曾

肆虐三个世纪，使人们闻之色变的欧洲黑死病[6](曾四次在欧洲大规模流行且每次

都造成大规模的人口死亡)，上世纪八十年代的发现的艾滋病，二十一世纪初曾肆

虐我国并波及全球的 SARS，还有霍乱，疟疾，甲型 H1N1 型流感等．回顾过去人

类历史上近百次与传染病进行不屈抗争的时期，在上个世纪，随着科技的进步，

人类生活条件的提高、医疗设施建设的加强，对于传染病的斗争还是取得了不错

的成绩：曾令人闻之丧胆的天花得到了控制；麻疹、破伤风等疾病也在大部分国

家被制服；二十一世纪以来，世界卫生组织加强了各国间的关于传染病的研究的

合作和技术交流，使得传染病这一人类天敌得到了有效的控制．但是，要想彻底

的消灭传染病，人类还有很长的路要走．世界卫生组织(WHO)发表的关于世界卫

生安全统计报告表明，当前，地球人口中近一半的人处在传染病的包围当中，传

染病仍是人类的第一杀手，每年有近 2000 万人的死与传染病有关．残酷的历史和

现实时刻警示我们：人类的生存和发展正面临着长期而又严峻的威胁，应该高度

重视与传染病的斗争长期性、艰巨性，而对于如何做好传染病的预防和控制策略

的研究则是各个国家政府部门和一些医疗组织必须长此以往坚持的重点和研究的

热点．

传染病动力学是针对传染病的流行发展规律进行定量理论研究的重要科

学．随着科学技术的发展进步，人类对于传染病动力学的研究发展迅速，大量的

学者们不断利用所掌握的科学理论知识用来建立起可以模拟大部分传染病传播流

行规律的数学模型[7]-[20]，然后再从动力学角度定性定量的去分析该数学模型的性

质特征，并且通过计算机软件对所得的结论进行数值模拟，进而分析传染病的动

力学行为．过去的一个世纪以来，传染病模型作为生物数学模型的一个分支，学

者们做了大量的工作，对传染病动力学发展做出了巨大的贡献，其中随机传染病

的研究对现实的发展更具有实际意义，也是引领动力学研究的一个重要方向[6]．

几类随机传染病模型的动力学行为研究

1.2 研究的概况

在传染病研究发展的过程中，最为经典和基础的传染病模型是 Kermack 与

McKendrick 在1927 研究 1665-1666 年伦敦流行的黑死病和1906 年孟买流行的瘟

疫时所建立的 SIR 仓室模型[6][22]，他们在 1932 年又相继提出了 SIS 模型[6][23]，并

在研究这些模型的过程中提出了有关传染病模型的“阈值”问题[6]．这些研究为之

后传染病动力学的发展做出了奠定基础的贡献．之后的九十年以来，关于传染病

模型的研究，学者们做了大量的工作和研究，参见[6][21][24]，里面涵盖了关于传染

病模型的大量信息和资料，为对传染病动力学研究有兴趣的后人提供了很大的帮

助．学者们在 Kermack 和McKendrick 提出的经典模型基础上，做了进一步的扩展

和研究，建立了许多确定性传染病模型和随机传染病模型，使传染病动力学得到

了迅速的发展，参看文献[25]-[40]．其中确定性模型主要研究动力学形态，如模型解

的全局存在唯一性、模型的平衡点的存在性及其稳定性等；随机传染病模型是伴

随着确定性传染病模型的研究被提出来的，其研究也相对来说比较困难．部分学

者通过运用概率的方法去分析随机传染病模型，考虑传染病在不同的仓室中具有

不同的概率，主要研究得到的结论为疾病流行的概率分布和部分随机再生数的研

究等.参见文献[41][42]．

近些年来，随机传染病模型大都通过在确定性模型中添加布朗运动这种随机

因素的方法来建立，利用如停时理论，比较定理等随机微分方程理论[1][3]，针对对

随机模型的解的性质进行探究，主要可以得到模型解的存在性、唯一性、解的渐

近性态等一些动力学方面的性质，参见文献[32]-[40]．学者们通过观察研究分析确定

性模型和随机模型的结论，探究外界随机因素是如何影响和干扰传染病的流行和

传播的，这些为进一步研究传染病的传播机理以及针对传染病的流行特征来制定

相对应的防治策略提供比较可靠的理论参考[36]．这里，考虑模型当中不同的随机

扰动会得到不相同的随机传染病模型，并且对于原确定性模型影响也不相同．目

前，总结起来我们经常见到的主要有下列两种引入随机扰动的方法[36]：第一种是

考虑对确定性模型中的部分参数进行随机扰动，可以参考毛学荣提到的随机

Lyapunov 的分析方法[16]，进而得到随机传染病模型正解的全局存在唯一性和部分

其他渐近行为，详看文献[43]-[45]；第二种是主要考虑围绕确定性传染病模型的地方

病平衡点做随机扰动，得到一个新的随机传染病模型，通过选取适当的 Lyapunov

函数，运用随机微分方程的理论知识，进而研究随机传染模型的线性系统是否稳

定，然后可以得到与之相应的非线性随机模型的稳定性，参见[46]-[47]．由于随机传

染病模型考虑了随机因素的干扰，能更好地反映疾病传播和发展流行的过程，比

较具有十分重要的现实意义，也非常贴近实际生活，同时这也是我们今后研究传

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摘要：

摘要在传染病研究过程中，我们主要从理论上探究疾病的传播规律和发展趋势等，找出疾病流行的原因，研究出能够控制疾病传播的方法和策略．近些年来，通过建立数学模型研究传染病系统的动力学行为已受到广大学者的高度重视．本文主要考虑了自然界环境白噪声的存在，在以往的确定性传染病模型中进一步考虑了环境白噪声的影响，并建立了与之相对应的随机传染病模型，利用随机微分方程的理论知识和数值仿真来揭示随机传染病模型的动力学行为．文章分为四部分．第一章为绪论，介绍了本论文的研究背景，给出了展开研究所需要的一些基本概念和定理．第二章，我们主要考虑了通过对系统参数恢复率引入环境白噪声的随机扰动而得到的一类病毒自身发生变异的随...

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