具有超线性增长条件的拟线性椭圆型方程解的存在性

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3.0 牛悦 2024-11-11 5 4 379.39KB 43 页 15积分

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摘要

本文是在加权 Sobolev 空间中, 讨论了几类具有超线性增长条件的拟线性

椭圆型方程解的存在性. 本文的方法主要基于 Galerkin 方法, Brouwer 定理以及加

权Sobolev 紧嵌入定理等. 本文共分为五章.

在第一章, 主要介绍了超线性增长条件的产生背景、拟线性椭圆型方程的来源

及目前的研究状况、本文主要解决的问题、采用的方法、结果以及实际意义.

在第二章, 给出了本文的基本假设和主要用到的定理及结论.

在第三章, 通过建立拟线性算子

与线性算子

之间 Near-相关关系, 构造关

于满足超线性增长条件的非线性项

(,)

fxu

的辅助函数, 对于算子

的第一特征值

, 得到奇异拟线性椭圆型方程

1,,

[(,)], ,

(,)

MuufxuGx

uH ρ

λρ

=+−∈Ω





∈ΩΓ





(

)

非平凡解的存在性, 其中

1111

2222 00

[()()]

ijijiijj

MuDppuubDubqu

σσσ

=−+

∑.

第四章中, 在建立拟线性算子 1

[(,,)]()

iii

QuDpAxuDuqBxu

=−+

∑与线性算

子

满足一种新型关系——※-相关的基础上，针对算子

的任意特征值

，在非

线性项满足超线性增长条件下，研究问题

1,,

[(,)], ,

(,)

QuufxuGx

uHρ

λρ

=+−∈Ω





∈ΩΓ



 (

)

非平凡解的存在性.

在第五章中, 通过建立拟线性算子

与线性算子

的一种关系(N-Near 相关),

讨论了在

(,)

fxu

满足超线性增长条件时, 共振问题(

)解的存在性.

关键词: 加权 Sobolev 空间超线性增长条件拟线性椭圆型方程

共振问题 Galerkin 方法

ABSTRACT

In this paper, the existence of nontrivial solutions of three classes of quasilinear

elliptic equations with superlinear nonlinearties is discussed in some weighted Sobolev

spaces. The methods rely on Galerkin method, Brouwer's theorem and a new weighted

compact Sobolev-type embedding theorem. The paper consists of five chapters.

In chapter 1, we mainly introduce the background of superlinear growth conditions

and the current research status of quasilinear elliptic equations, and then presents the

main problems, the basic methods, and also the achievements and the significance

obtained in the paper.

In chapter 2, the basic assumptions and the main theories used in this paper are

given.

In chapter 3, we establish a Near-relationship between the quasilinear operator

and the linear operator

, and prove the existence of nontrivial solutions for the

singular quasilinear elliptic equation

1,,

[(,)], ,

(,)

MuufxuGx

uH ρ

λρ

=+−∈Ω





∈ΩΓ





(

)

by establishing an auxiliary function for the superlinear nonlinearty

(,)

fxu

. Here

1111

2222 00

[()()()()()],

ijijiijj

MuDpxpxuubxDubqu

σσσ

=−+

∑

and

is the first eigenvalue of the operator

. The equation can be singular because

of the possibility that

()

tends to zero on part or all of

∂Ω

, or

Ω

is unbounded.

Chapter 4 deals with the existence of a nontrivial solution for a class of singular

quasilinear elliptic equation

1,,

[(,)], ,

(,)

QufxuGx

uHρ

λρ

=+−∈Ω





∈ΩΓ



 (

)

with superlinear nonlinearties

(,)

fxu

, where

is the

th eigenvalue of the

operator

and

()

[(,,)]().

iii

QuDpxAxuDuqBxu

=−+

∑

Here a new relationship named ※-relationship is established between the quasilinear

operator

and the linear operator

In chapter 5, we establish a N-Near relationship between the quasilinear operator

and the linear operator

and discuss the the existence of a nontrivial solution for

(

). Here the nonlinearty

(,)

fxu

satisfies some superlinear resonance-type

conditions.

Key Words: Weighted Sobolev Spaces, Superlinear conditons,

Quasilinear elliptic equations, Resonance problem,

Galerkin method

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论.............................................................................................................1

1.1 拟线性椭圆型方程的研究状况......................................................................1

1.2 现阶段主要研究成果.....................................................................................1

1.3 本文主要工作 ................................................................................................3

第二章预备知识 .....................................................................................................5

2.1 知识回顾 ........................................................................................................5

2.2 基本假设 ........................................................................................................6

2.3 基本引理........................................................................................................9

第三章具

算子和超线性增长的拟线性椭圆型方程的特征值问题 .................11

3.1 问题提出......................................................................................................11

3.2 补充假设与主要结果...................................................................................12

3.3 两个重要的引理...........................................................................................12

3.4 定理 3.2.1 的证明.........................................................................................16

第四章具

算子和超线性增长的拟线性椭圆型方程的特征值问题 ..................19

4.1 问题提出......................................................................................................19

4.2 补充假设与主要结果...................................................................................20

4.3 四个重要的引理...........................................................................................21

4.4 定理 4.2.1 的证明.........................................................................................25

4.5 ※-相关的一个例子.....................................................................................30

第五章具

算子和超线性增长的拟线性椭圆型方程共振型问题 .....................32

5.1 问题提出......................................................................................................32

5.2 补充假设与主要结果...................................................................................33

5.3 定理 5.2.1 的证明.........................................................................................33

参考文献.................................................................................................................38

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果........................................40

致谢......................................................................................................................41

第一章绪论

1.1 拟线性椭圆型方程的研究状况

偏微分方程属于分析学的范畴, 是在微积分出现后不久即兴起的一门学科. 它

起源于 18 世纪 Euler、 d’Alembert、Bernoulli、 Lagrange 和Laplace 等的工作, 作

为描述连续力学的核心工具, 被用作分析物理学科中模型的主要方式. 到了 19 世

纪, 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两个方面的扩展, 偏微分方程的理

论和应用也迅速发展并变为“数学的中心”, 促进了其他相关数学分支的发展. 例如,

Poincaré对极小曲面方程和 Monge-Ampére 方程以及它们几何意义的研究, 促进了

几何学的发展. Donaldson和Seiberg-Witten 在四维微分流形的拓扑学中的工作大部

分建立在偏微分方程理论的基础上. 除了几何学和拓扑学上的应用外, 偏微分方

程还与金融数学、概率理论与统计分析(Brown 运动、多粒子流体力学)以及动力系

统, 尤其是Hamilton 系统等数学的其他领域紧密相关.

椭圆型偏微分方程, 简称椭圆型方程, 是一类重要的偏微分方程. 早在1900 年,

希尔伯特提出的著名的23 个问题中, 就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的.

如果椭圆型方程关于未知函数的高阶微商, 例如

阶微商, 是线性的, 并且其系数

依赖于未知函数的低于

阶的微商, 则称它是

阶拟线性椭圆型方程. 本文主要

讨论二阶拟线性椭圆型方程.

1.2 现阶段主要研究成果

关于拟线性椭圆型方程解的存在性研究已有了很多方法, 如度理论, 极小极大

原理, Nehari 流形方法, 山路引理, 环绕定理等, 参见文[1-13]. 特别地, 在加权型

Sobolev 空间中, 当非线性项满足次线性或线性增长的条件下, 拟线性椭圆型方程

解的存在性问题已经得到了比较广泛的研究, 参见文[14-20].

如2005 年, Adolfo J. Rumbos 在文[13]中利用环绕定理及形变定理讨论了一类

加权奇异拟线性椭圆型方程

(,)(,), ,

Luuaxuugxuhx

λρρρ

−



=−++∈Ω



=∈∂Ω



的非平凡解的存在性, 这里

[],

iijijj

LuDppbDucu

=−+

∑

其中非线性项

(,)

gxu

满足线性增长条件: 对任意的

, 存在 2

()

ηρ

∈Ω

且

0, ..

bae

≥Ω

, 使得

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摘要：

摘要本文是在加权Sobolev空间中,讨论了几类具有超线性增长条件的拟线性椭圆型方程解的存在性.本文的方法主要基于Galerkin方法,Brouwer定理以及加权Sobolev紧嵌入定理等.本文共分为五章.在第一章,主要介绍了超线性增长条件的产生背景、拟线性椭圆型方程的来源及目前的研究状况、本文主要解决的问题、采用的方法、结果以及实际意义.在第二章,给出了本文的基本假设和主要用到的定理及结论.在第三章,通过建立拟线性算子M|12z{L}'Near-相关关系,构造关于满足超线性增长条件的非线性项(,)fxu7辅助函数,对于算子L7RS特征值1l,得到奇异拟线性椭圆型方程11,,[(,)],,(,...

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