耦合非线性薛定谔方程的有理解与畸形波

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3.0 牛悦 2024-11-11 4 4 958.7KB 61 页 15积分

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摘要

畸形波是二十世纪七十年代由海洋学家 Draper 最先提出来的,因其能引起巨

大的海难而备受关注,是目前海洋学家和数学家研究的热点．本文主要讨论如下耦

合非线性薛定谔方程

2()0,

txx

iuuuvu

+++=

2()0,

txx

ivvuvv

+++=

的有理解与畸形波问题．耦合非线性薛定谔方程是刻画深水波的重要模型之一,

它描述了两个非线性波在一种非线性扩散介质中传播时的规律．耦合非线性薛定

谔方程有理解的存在性能够很好的解释海洋中畸形波的产生原因．

我们首先运用修正达布变换方法,从耦合非线性薛定谔方程的平面波种子解

出发,通过代数迭代和待定系数法求出了该方程带有自由参数的一阶、二阶、三阶

和四阶畸形波解的精确表达式,并结合图形,形象分析了畸形波解的特征及其碰撞

结构．其次,在前面所求出的耦合非线性薛定谔方程前四阶畸形波解的基础上,我

们深入分析了畸形波解的三个重要性质,包括畸形波解的递推性质、畸形波的分解

以及不同结构畸形波之间的变换.最后,我们还给出了一般的N耦合非线性薛定谔

方程和耦合非线性薛定谔方程畸形波解之间存在的关系,并据此直接推出了N耦

合非线性薛定谔方程的前四阶畸形波解的精确表达式．

本文的结果有助于人们从数学角度深入理解畸形波的特征和产生的动力学行

为,对畸形波在海洋和非线性光学等领域的研究与应用也具有重要参考价值．

关键词：耦合非线性薛定谔方程有理解畸形波修正达布变换法

ABSTRACT

Rogue wave was first introduced by Draper who is a famous oceanographer in

1970s and it’s a research hotspot of ocean researchers and mathematicians recently. In

this dissertation，We mainly research the rational solutions and rogue waves of the

coupled nonlinear Schrödinger (CNLS) equations as follow

2()0,

txx

iuuuvu

+++=

2()0.

txx

ivvuvv

+++=

The CNLS equations are an important model reflecting deep water waves, which

describes the law when two nonlinear waves propagate in a nonlinear diffusion

medium. The existence of rational solutions to the CNLS equations may explains the

reason why rogue waves appear in oceans.

The modified Darboux transformation method is applied to the CNLS equations.

By using the iterative algorithm of the Darboux transformation and undetermined

coefficients mothod, the multi-rogue wave solutions of CNLS equations are generated

from the plane wave solution. The hierarchies of first-, second-, third- and forth-order

rational solutions with free parameters are explicitly presented. Some basic properties

of multi-rogue waves and their collision structures are studied on the basis of the

solutions obtained. Besides, some important properties of rogue waves obtained in the

second chapter are deeply investigated, include the recursion about orders of rational

solutions, the decomposition of rogue waves and the conversion of rational solutions.

What’s more, the relation of rational solutions between N-CNLS equations and CNLS

equations is explained, and we also give the exact first-, second-, third- and

forth-order rational solutions of the N-CNLS equations.

Our results might provide useful information for investigating the dynamics of

multi-rogue waves in the deep oceans, nonlinear optical fibers and other fields.

Key Words: Coupled nonlinear Schrödinger equations，rational

solutions，rogue waves，modified Darboux transformation method

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ..................................................... 1

1.1 本课题来源及意义 ........................................... 1

1.1.1 畸形波的特点与定义 ..................................... 1

1.1.2 畸形波的基本特征 ....................................... 2

1.1.3 有关畸形波的记录 ....................................... 3

1.1.4 畸形波的形成机理 ...................................... 4

1.2 国内外研究现状 ............................................. 5

1.3 本文主要创新点 ............................................. 8

第二章耦合非线性薛定谔方程的有理解与畸形波解 .................... 9

2.1 Lax 对和达布变换 ............................................ 9

2.1.1 耦合非线性薛定谔方程的Lax 对 ............................ 9

2.1.2 耦合非线性薛定谔方程的达布变换 .......................... 9

2.2 耦合非线性薛定谔方程的有理解族 ............................. 10

2.2.1 修正达布变换的一般过程 ................................. 10

2.2.2 一阶有理解 ............................................. 12

2.2.3 二阶有理解 ............................................. 16

2.2.4 三阶有理解 ............................................. 31

2.2.5 四阶有理解 ............................................. 36

第三章耦合非线性薛定谔方程的畸形波解的性质 ..................... 38

3.1 畸形波解的递推性质 ....................................... 38

3.2 畸形波的分解 ............................................. 40

3.3 畸形波的变换 ............................................. 40

3.4 N耦合非线性薛定谔方程与耦合非线性薛定谔方程有理解关系 .. 41

第四章结论与展望 ............................................... 43

4.1 本文取得的成果 ........................................... 43

4.2 有关畸形波研究的展望 ..................................... 43

附录 ............................................................ 45

参考文献 ..................................................... 55

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .................. 58

致谢 ............................................................ 59

第一章绪论

本章首先对畸形波的特点和定义，畸形波的特征，有关畸形波的观测记录，

畸形波的形成机理以及有关畸形波的国内外研究现状等背景知识进行简单的介

绍.

1.1 本课题来源及意义

1.1.1 畸形波的特点与定义

随着全球经济技术的不断发展，世界人口的不断增加，人类对资源的需求越

来越大，而海洋因其蕴藏着大量可以供人类开发利用的资源被世界各国所重视．然

而，在人类开发海洋资源的同时，也不断遇到各种困难和挑战，其中给人们带来

损失最大的就是频发的海难，如台风，海啸，地震等．针对上述常见的海难，由

于科技的发展，人们已经对其发生机理有了深入了解，并建立起了各种监测预报

系统，从而大大降低了人们的损失．但还有许多其他的海难，人们深受其害却对

其了解甚少，畸形波(rogue wave) 就是一个典型的例子．

Rogue wave 是二十世纪 70 年代由 Draper 最先提出来的[1]，当时Draper 称

其为freak wave．后来，原来越多的科学家尤其是海洋工程人员注意到这一现象

并开始对其进行不断的研究．关于这种波，由于人们对其了解甚少和其巨大的破

坏性，因此它还有很多形象有趣的名字如巨波(giant wave，huge wave，gigantic

wave)，反常波(abnormal wave)，超级波(super wave)，凶波(killer wave)，怪兽波

(monster wave)等等．迄今为止，国内外学者对其还没有统一的命名．由于数学

界通常将其称为rogue wave，因此本文也沿用这一名称并将其翻译为畸形波．

由于畸形波大多数是在不可预知的情况下出现，关于它的精确记录甚少，因

此目前学术界关于畸形波尚没有统一确切的定义．但由于畸形波最显著的特点是

具有超常的波高，因此大部分学者是从波高的角度对其定义的．目前关于畸形波

的比较全面和被普遍接受的定义是由 Klinting 和Sand 给出的[2]，其定义如下：

假设有一个按时间顺序排列的波高序列

，

−

，

+LL，

，

其中

是畸形波的波高，则它应该满足以下三个条件：

(1)

(2)

jjjj

HHHH

−+

≥≥

(3)

0.65;

η≥

这里

是有效波高(significant wave height，又称为三一波高，指将所有连续测量

耦合非线性薛定谔方程的有理解与畸形波

的波高按大小排列，其总数的三分之一大波波高的平均值)，

−+

是畸形波

前后波的波高，

是畸形波所对应的波峰高度．这个定义对畸形波进行了三个方

面的要求：

(1) 畸形波的波高应大于有效波高的两倍，这是畸形波最突出，最直观的特征；

(2) 畸形波的波高应大于等于其前后两列波波高的二倍，这说明畸形波是波列

中一个明显“凸出”的单波；

(3) 畸形波的波峰高度大于等于其波高的0.65 倍，这一要求说明畸形波具有较

强的非线性性，波峰大于波谷，因为单纯从波高的角度定义畸形波有一定的缺陷，

容易造成畸形波和极值波概念之间的混淆，这一要求正是为了弥补这一缺陷而设

置的．

1.1.2 畸形波的特征

畸形波的直观特点就是具有超常的波高，参看图1-1．日本学者 Kimura 曾对

畸形波有过如下描述[3]:“畸形波是一个突出于周围其他波浪，具有很大波高的短

峰波．它跟相邻的波浪几乎没有相关性．它有一个很大的波峰，但不一定有一个

相应显著的波谷，它存在的时间很短，消失很快．”结合该描述和畸形波的定义以

及后来学者对畸形波的研究，我们对畸形波的基本特征可大致归纳如下：

(1) 畸形波是一种特殊自然现象，是确实存在的，图1-1 至图1-4 均是实际拍

摄到的畸形波出现时的景象；

(2) 畸形波是波列中的一个单波；

(3) 畸形波具有突出的波高和巨大的能量，破坏性很大；

(4) 畸形波的波面表现出极大的非线性性，是非线性波；

(5) 畸形波存在时间很短，出现很陡然，属于瞬时波；

(6) 畸形波并非发生在所有海域，通常发生在深海或狭窄海域；

(7) 畸形波在风暴天气和晴朗天气都会出现，且前者较多；

(8) 畸形波的出现几率不大，不能用正态分布的出现几率来控制；

(9) 畸形波出现前后两侧伴有巨大凹陷，即波谷，加剧了其破坏性；

由此看来，畸形波虽然是非线性波，但它不同于孤立波，因为它存在很短，

很快消失；也不同于驻波，因为畸形波的波形随时间不断变化；更不同于海啸，

因为畸形波的发生和地震无必然联系．

第一章绪论

图1-1

图1-2

图1-3

图1-4

1.1.3 有关畸形波的记录

自从畸形波被人们发现以来，世界各地的学者们就对其进行了不断的观测，

记录和研究．图1-5 记录了近20 多年来由畸形波导致船舶失事的全球海域分布情

况[4]．从图中我们可以发现，畸形波在全球许多海域都有出现，但在南非的东南

海域，北海和日本海出现较多，目前仅有的实测记录也都来自这些海域．

图1-5

近20 多年来由畸形波导致船舶失事的全球海域分布情况

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摘要：

摘要畸形波是二十世纪七十年代由海洋学家Draper最先提出来的,因其能引起巨大的海难而备受关注,是目前海洋学家和数学家研究的热点．本文主要讨论如下耦合非线性薛定谔方程222()0,txxiuuuvu+++=222()0,txxivvuvv+++=的有理解与畸形波问题．耦合非线性薛定谔方程是刻画深水波的重要模型之一,它描述了两个非线性波在一种非线性扩散介质中传播时的规律．耦合非线性薛定谔方程有理解的存在性能够很好的解释海洋中畸形波的产生原因．我们首先运用修正达布变换方法,从耦合非线性薛定谔方程的平面波种子解出发,通过代数迭代和待定系数法求出了该方程带有自由参数的一阶、二阶、三阶和四阶畸形波解的精...

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