涉及分担值的亚纯函数与全纯函数的正规族

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第一章绪论

涉及分担值的亚纯函数与全纯函数的

正规族

摘要

亚纯函数与全纯函数是复分析研究的主要对象，尤其是研究它们的值分布与正

规族，近几十年国内外许多数学工作者对此作了大量卓越的工作.本文主要研究亚

纯函数的正规族与重值，涉及导数与分担函数的全纯函数族的正规性，全文分五章

前两章介绍论文的问题来源与背景和值分布以及正规族理论的知识，第三章叙述了

亚纯函数及全纯函数的正规定则.

第四章研究亚纯函数的正规性，证明了

定理1 设是区域

上一族亚纯函数,

( 0)







是区域

上全纯函数, .若



, 满足

( )a

0f

, ；

( )b

零点重级





；

( )c

与

( )z



无公共零点,

其中

( )

a z

与

( )

b z

是区域

上全纯函数 , 则在

内正规.

定理1推广了徐焱与常建明在文献[6]中的定理：设为区域

内的一族亚纯

函数,



( 0)



为

内的全纯函数,

为正整数, 若对任意的都满足

(a)

0f

( )

f

;

(b)

( )

( ) ( )

f z z





的零点重级至少为

( 2)k k

, 则在

内正规.

定理1是将他们的

( )

f z

推广为一般的微分多项式.定理1的条件（c）对此定理显

然成立，定理1包含了他们的结论.

第五章研究了涉及分担函数的全纯函数族的正规性，得到了

定理2 设是区域

上的一族全纯函数,

n N





，

( ), ( )a z b z

在

上全纯，且

( )a z

不取零.若

( )i

f  F

，若

有零点，则

的零点重级大于等于

；

( )ii

当

时，对的每一对函数

和

，

( )

k n

G a z G

（）

与

( )

k n

H a z H

（）

分担

( )b z

；

则在

内正规.

涉及分担值的亚纯函数与全纯函数的正规族

定理2推广了张庆彩2008年在文献[8]中的定理：设

为

内的一族全纯函数，

是一个正整数，

,a b

是两个复数且满足 ,如果且对

中的每一

对函数和

, 和分担

,则

在

内正规.

定理2把他的条件

,a b

是两个复数且满足，推广到

( ), ( )a z b z

在

上全纯，

( )a z

不取零；另外把他的条件且对

中的每一对函数和 ,

和分担

，推广到当时，对的每一对函数

和

，

( )

k n

G a z G

（）

与

( )

k n

H a z H

（）

分担

( )b z

；但是需要加条件

f  F

，若

有零点，则

的零点重级大于等于

，这是必要的.张庆彩的结论是包含在定理2中

1k

情况，

因为

f  F

，若

有零点，则

的零点重级大于等于

，恒成立.故定理2包含了他

的结论.

关键词: 亚纯函数分担值重值导数正规族

第一章绪论

ABSTRACT

In complex analysis, meromorphic functions and holomorphic functions are the main

o b j e c t s o f s t u d y, e s p e c i a l l y t h e r e s e a r c h o n t h e i r v a l u e

distributions and normal families. In recent years, many domestic and foreign scholars

h a v e m a d e l o t s o f e x c e l l e n t w o r k . T h i s p a p e r m a i n l y s t u d i e s n o r m a l f a m i l i e s o f

m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s a n d m u l t i p l i c i t y v a l u e s, a n d a l s o s t u d i e s h o l o m o r p h i c

functions families involving derivatives and sharing function.

T h i s p a p e r c o n s i s t s o f f i v e c h a p t e r s . T h e f i r s t t w o c h a p t e r s i n t r o d u c e t h e

s o u rce o f t h e p r o b l e m a n d b a c k g r o u n d, a n d t h e k n o w l e d g e o f v a l u e

d i s t r i b u t i o ns , a n d n o r m a l f a m i l i e s t h e o r y . I n c h a p t e r t h r e e, w e i n t r o d u c e t h e

m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s a n d h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s n o r m a l c r i t e r i o n s . I n c h a p t e r

four, we study a normal criterion of meromorphic functions. We

proved the following conclusion.

Theorem 1 Let

be a family of meromorphic functions defined in a

domain

( 0)







be a holomorphic function in

k N





. If



fF

, we have

0f

and all zeros of have multiplicity at least



; and

( )z



have no common zeros;

where

( )

a z

and

( )

b z

are holomorphic functions in

, , then

normal in

Theorem 1 improves Xu Yan and Chang Jianming's theorem

[6] : Let

be a family of

m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s d e f i n e d i n a d o m a i n

( 0)







b e a h o l o m o r p h i c f u n c t i o n

k N





. If



fF

, we have

0f

( )

f

; and all zeros of

( )

f z





have

涉及分担值的亚纯函数与全纯函数的正规族

multiplicity at least

( 2)k k

, then

is normal in

Theorem 1 changed

( )

f z

into general differential polynomial. The conditions of

this theorem clearly satisfy for the theorem 1. So theorem 1 contains their conclusion.

In chapter five, we study a normal rule of holomorphic

functions families involving shared function and we get

T h e o r e m 2 L e t

be a family of holomorphic functions defined on a

domain

, and

( ), ( )a z b z

be holomorphic functions on

( ( ) 0)a z 

, if

( )i

f  F

all zeros of

have multiplicity at least

;

( )ii

when , for each pair of

HF

，

( )

k n

G a z G

（）

and

( )

k n

H a z H

（）

( )b z

, then

is normal on

Theorem 2 improves Zhang Qingcai's theorem

[8]

: Let

be a family of holomorphic

functions in

be a positive integer and

a b，

be two constants such that

0a ，

an d

b 

. I f , f o r e a c h p ai r o f fu n cti on s

HF

G aG



a n d

H aH



, then

is normal in

Theorem 2 changed his condition

a b，

are two constants such that

0a ，

and

b 

into

( ), ( )a z b z

are holomorphic functions on

( ( ) 0)a z 

. And theorem 2

changed for each pair of functions

HF

G aG



and

H aH



into when , for each pair of

HF

( )

k n

G a z G

（）

and

( )

k n

H a z H

（）

( )b z

. But we need to add the condition

f  F

, all zeros of

have multiplicity at

least

. This is necessary. Zhang Qingcai's conclusion is contained in the situation of

theorem 2 when k=1. Since the condition

f  F

, all zeros of

have multiplicity at

least 1 is correct. Theorem 2 contains his conclusion.

Key Words: Meromorphic function, Shared values, Multiplicity value,

Derivative, Normal family

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摘要：

第一章绪论涉及分担值的亚纯函数与全纯函数的正规族摘要亚纯函数与全纯函数是复分析研究的主要对象，尤其是研究它们的值分布与正规族，近几十年国内外许多数学工作者对此作了大量卓越的工作.本文主要研究亚纯函数的正规族与重值，涉及导数与分担函数的全纯函数族的正规性，全文分五章前两章介绍论文的问题来源与背景和值分布以及正规族理论的知识，第三章叙述了亚纯函数及全纯函数的正规定则.第四章研究亚纯函数的正规性，证明了定理1设是区域D上一族亚纯函数,(0)是区域D上全纯函数,.若,满足()a0f,；()b零点重级2kk；()c与()z无公共零点,其中()iaz与()ibz是区域D上全纯函数,则在D内...

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