图的最小和次小Q-特征值

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3.0 牛悦 2024-11-11 4 4 463.69KB 29 页 15积分

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摘要

设(, )GVE是有 n个顶点的简单连通图, 其中 12

{, , , }

Vvv v



是顶点集合.

图G的邻接矩阵定义为一个 nn



矩阵 () ( )



, 其中当 i

v和

v相邻时 1

a;

当i

v和

v不相邻时 0

a. 若G是一个简单图, 则()

G是一个实对称的 (0,1) -矩阵

且它的主对角线上的元素全为零. 令()

dv 表示 G中顶点 i

v的度, 图G的拉普拉斯

矩阵定义为 () () ()

GDGAG



, 其中 12

() ((),(), ,())

Gdiagdvdv dv



称为图 G

的度矩阵. 称() () ()QG DG AG为G的无符号拉普拉斯矩阵或 Q-矩阵. 若G是

连通图, 则()QG 是一个半正定矩阵, 即()QG 的特征值或 Q-特征值

() () () 0

qG qG qG. 若G是二部图,则()

G与()QG 的特征多项式相同,

从而有相同的特征值.

本文主要研究图的次小 Q-特征值和最小 Q-特征值, 即1()

和()

. 一方

面, 我们给出了最小 Q-特征值的一些界; 另一方面, 我们将单圈图依 1()

排序.

主要内容如下:

在第一章中, 我们给出了相关定义, 符号及记号, 综述了图的 Q-特征值的研

究历史及现状, 介绍了前人的研究成果, 并在本章第三节中列举了本文的主要结

论.

在第二章中, 我们给出最小 Q-特征值与图的直径有关的下界, 另外还给出了

图G的最小 Q-特征值与其子图的最小 Q-特征值之间的关系．

在第三章中, 设()nU表示所有 n阶单圈图所构成的集合. 我们给出当阶数

25n时, ()nU中次小 Q-特征值为前八大的图.

在第四章中, 我们给出了当阶数 25n时, 非二部单圈图的最小 Q-特征值的

一个上界.

关键词：单圈图 Q-特征值非二部图 Q-特征多项式

ABSTRACT

Let (, )GVE be a simple graph with vertex set





() , , ,

VG vv v and edge

set ()EG. Let () ( )



be the (0,1) adjacency matrix of G with 1

a for i

adjacent to

vand 0 otherwise. Moreover, let 12

() ((),(), ,())

Gdiagdvdv dv



 be

the diagonal matrix of vertex degrees of G. () () ()

GDGAG



 is called the

Laplacian matrix of G. The matrix () () ()QG DG AG



 is called the signless

Laplacian or the Q-matrix of G. If G is a connected graph, then ()QG is a

positive semidefinite matrix, the eigenvalues of ()QG or the Q-eigenvalue can be

arranged as:

() () () 0

qG qG qG.

If G is a bipartite graph, then Q-polynomial is equal to the characteristic polynomial

of the Laplacian, and the eigenvalues of ()

G and ()QG are the same.

This paper focus on the least Q-eigenvalue and the second least Q-eigenvalue of

graphs. On one hand, we present the bound of the least Q-eigenvalue. On the other

hand, we give the ordering of the second least Q-eigenvalue of graphs. The main

content of this paper are as follows:

In Chapter 1, we give some basic definitions, symbols and notations about graphs.

We also reminisce the history and the state of the theory of Q-eigenvalue, and

introduce some important known results about the Q-eigenvalue of graphs. In the

section 3, we list the important results of this paper.

In Chapter 2, we give the lower bound about diameter of the least Q-eigenvalue

and some relations between the least Q-eigenvalue of Gand that of its subgraph.

In Chapter 3, let ()nU be the set of unicyclic graphs of order n. We find the

second least signless Laplacian eigenvalue of first eight largest n order graphs in the

class ()nU(25)n together with the correspond graphs are obtained.

In Chapter 4, we give the upper bound of the least Q-eigenvalue of the

non-bipartite unicyclic graph when the order 25n.

Key words：Unicyclic Graph, Q-eigenvalue, Non-bipartite Graphs, Q

-characteristic Polynomial

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ....................................................... 1

1. 1 基本概念与记号 .............................................. 1

1. 2 图的相关领域研究进展 ....................................... 2

1. 3 本文的主要研究结果 ........................................... 3

第二章图的最小 Q-特征值 ............................................ 7

2. 1 引言 ......................................................... 7

2. 2 非二部图的最小 Q-特征值与其直径的关系 ......................... 7

2. 3 子图的最小 Q-特征值 ........................................... 8

第三章非二部单圈图依次小 Q-特征值排序 .............................. 12

3. 1 引言 ....................................................... 12

3. 2 次小 Q-特征值等于 0



的单圈图 ................................ 13

3. 3 次小 Q-特征值小于 0



的单圈图 ................................. 14

3. 4 次小 Q-特征值大于 0



的单圈图 ................................. 17

第四章非二部单圈图最小 Q-特征值的一个上界 .......................... 19

4. 1 引言 ........................................................ 19

4. 2 非二部单圈图最小 Q-特征值与 0



的关系 ........................ 20

总结 ............................................................... 23

参考文献 ............................................................ 24

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ......................... 27

致谢 .............................................................. 28

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摘要：

摘要设(,)GVE是有n个顶点的简单连通图,其中12{,,,}nVvvv是顶点集合.图G的邻接矩阵定义为一个nn矩阵()()ijAGa,其中当iv和jv相邻时1ija;当iv和jv不相邻时0ija.若G是一个简单图,则()AG是一个实对称的(0,1)-矩阵且它的主对角线上的元素全为零.令()idv表示G中顶点iv的度,图G的拉普拉斯矩阵定义为()()()LGDGAG,其中12()((),(),,())nDGdiagdvdvdv称为图G的度矩阵.称()()()QGDGAG为G的无符号拉普拉斯矩阵或Q-矩阵.若G是连通图,则()QG是一个半正定矩阵,即()QG的特征值或Q...

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