线性系统族的多面体可生存域研究

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3.0 陈辉 2024-11-19 4 4 604.4KB 45 页 15积分

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摘要

近年来，生存理论已发展成为一门新兴学科，在系统科学与系统控制领域有

着越来越广泛的应用，是研究不确定系统在各种约束下状态演变的一种方法，适

用于解决经济、生物、社会等含不确定因素较多的宏观复杂大系统问题.

对生存理论的研究主要涉及两个核心问题，其一是解轨迹的存在性问题，其

二是解轨迹能否以及如何在特定约束下演化，即系统的可生存域问题. 其中，线

性系统的可生存域问题是生存理论的重要内容，主要有两类：一是椭球可生存域；

二是多面体可生存域. 由于多面体可以逼近任意区域，因此多面体可生存域比椭

球可生存域更有应用价值.

本文以微分包含理论、鲁棒性理论、生存理论、凸分析理论、切锥理论为基

础，研究线性系统族的多面体可生存域问题.

首先，以差分及微分方程表示的单一系统为研究对象，利用矩阵分析方法及

Haar 引理，将受限的多面体域推广至任意范围，得到更广泛的多面体域可生存的

等价条件；采用凸集的良好性质，通过对凸多面体边界的讨论，将凸多面体的生

存性判别转化为顶点生存性条件的验证，给出可生存域的顶点检验法.

其次，将单一系统推广至离散系统族及连续系统族，用一般矩阵代替单位矩

阵来刻画多面体域，并引入扰动因素，通过混合单调分解法，得到多面体域鲁棒

可生存的充分必要条件；进一步讨论，当存在控制输入时，多面体域为鲁棒可控

生存域的充分必要条件，将动态系统的状态约束和控制约束等问题转化为状态空

间中的多面体可生存域问题.

最后，论证可生存域理论的现实可行性. 考虑养老体系，以利率、工资水平、

在职比率、缴费率及退休年龄五个要素为切入点，建立其可生存域约束下的微分

包含复杂模型，将理论与实际相结合.

关键词：控制系统生存性多面体可生存域微分包含

ABSTRACT

Viability theory is a new subject. It has been applied widely in various fields such

as economics, biology and society domains which can be described by large scale

systems including uncertainties. It is one method to study the states evolution under

some constraint of uncertain systems.

There are two essential questions in viability theory. One is the existence of

solution’s trajectory. The other is the development and evolution process of solutions,

i.e. problems of positively invariant sets whose important aspect is discussion about

linear systems. There are two main type of positively invariant sets in linear systems:

polyhedron and ellipsoid. Polyhedron can approximate any area. As a result,

polyhedron has more application value.

This article is based on differential inclusion theory, viability theory, robust theory,

convex analysis theory and tangent cone theory. The polyhedral invariant sets of linear

systems are discussed.

Firstly, simple systems described by difference and differential equations are

studied. The polyhedral area is extended, then the extensive sufficient and necessary

conditions are derived. According to the discussion about the boundary of convex

polyhedron, the viability condition of the polyhedral area is transformed to the

property of all the vertices by use of some desirable properties of convex set.

Then, simple system is expanded to discrete systems, and perturbations are

brought in the systems. The sufficient and necessary condition of existence of robustly

polyhedral invariant set presented by non-identity matrix is obtained by use of mixed

monotone decomposition method; further more, relevant condition of robustly

controlled polyhedral invariant sets is also put forward. State constraints and control

constraints are reduced to positive invariance of some subsets of the state space of

dynamical systems.

Finally, the practical feasibility of positively invariant sets is demonstrated. The

complex differential inclusion of retirement system with respect to positively invariant

sets is proposed according to interest rate, wage, dependency ratio, transfer percentage

and the retirement age.

Key Words: control systems, viability theory, positively invariant

polyhedral sets, differential inclusion

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ............................................................................................................... 1

§1.1 研究背景及意义 ............................................................................................1

§1.2 国内外研究现状 ............................................................................................2

§1.3 研究内容及章节安排 ....................................................................................3

第二章预备知识 .........................................................................................................5

§2.1 微分包含 ........................................................................................................5

§2.2 鲁棒性 ............................................................................................................6

§2.3 可生存域 ........................................................................................................7

§2.4 凸分析基本概念 ............................................................................................9

§2.5 切锥理论及 Nagumo 定理 .......................................................................... 10

第三章多面体可生存域的推广及顶点检验 ...........................................................13

§3.1 引言 ............................................................................................................13

§3.2 改进的多面体域可生存的充要条件 ..........................................................13

§3.2.1 问题的描述 ........................................................................................... 13

§3.2.2 改进条件及证明过程 ........................................................................... 14

§3.3 多面体可生存域的顶点检验 ......................................................................17

§3.3.1 有限生成形式多面体与不等式组形式多面体的等价性 ................... 17

§3.3.2 顶点检验与凸多面体可生存的等价性 ............................................... 18

§3.4 本章小结 ......................................................................................................20

第四章系统族的多面体可生存域 ...........................................................................21

§4.1 引言 ............................................................................................................21

§4.2 离散线性时变系统族的多面体可生存域 ..................................................21

§4.2.1 相关概念与引理 ................................................................................... 21

§4.2.2 多面体鲁棒可生存域和鲁棒可控生存域的充要条件 ....................... 23

§4.3 连续线性时变系统族的多面体可生存域 ..................................................26

§4.3.1 相关概念与引理 ................................................................................... 26

§4.3.2 多面体鲁棒可生存域和鲁棒可控生存域的充要条件 ........................ 26

§4.4 本章小结 ......................................................................................................29

第五章养老体系的可生存域微分包含模型 ...........................................................31

§5.1 引言 ............................................................................................................31

§5.2 建立模型 ......................................................................................................31

§5.2.1 基本要素说明 ....................................................................................... 32

§5.2.2 可生存域的建立 ................................................................................... 32

§5.2.3 系统的建立 ........................................................................................... 33

§5.3 本章小结 ......................................................................................................36

第六章结论与展望 ...................................................................................................37

§6.1 结论 ............................................................................................................37

§6.2 展望 ............................................................................................................38

参考文献 .................................................................................................................... 39

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ........................................ 43

致谢 ...........................................................................................................................45

第一章绪论

§1.1 研究背景及意义

生存理论(Viability Theory)的思想和方法已经越来越多地渗透到系统科学领

域[1]，它是由Aubin及其合作者于80年代末提出的，用来描述大系统的状态演化过

程. 主要用的数学工具是微分包含、集值映射等[2~7]. 用微分方程描述的确定性模

型对于力学、物理学是有效的，但对于经济学、生物学等涉及的宏观系统则不一

定适合，因为这类系统中总存在不确定性. 从数学的角度来看，它们不该用微分

方程来描述，而该用下列形式的微分包含来描述：

),()( xtFtx 



(1.1)

其中

))(,( txtF

为

RR 

到

中子集的集值映射．上述微分包含系统随着环境的变

化为求生存而不断演化，追求系统的可生存性[8].

生存理论所描述的系统具有以下两个特点：一是系统的动力学不确定性，因

为系统的可能运行轨线和系统的历史及当前状态有关，表现在建模和干扰等方面；

二是系统的状态演化必须满足系统的生存性约束. 也就是说，生存理论描述的系

统状态的演化，由非确定的动态要素支配，受可生存域的约束，并由此确定相应

的控制律，使得系统状态始终保持在一定区域内，从而该系统在此约束域内是可

生存的. 宏观上，系统的某些属性始终保持在一定的范围内. 在经济学、合作对

策及非合作对策、社会科学和认知领域，大多数的系统都是这样的系统. 具体地

说，生存理论是研究动态系统在变的环境下如何保持某些属性的科学[9].

生存理论与传统最优控制理论的不同点主要有以下两个方面[10,11]：一、它不

需要决策者，也没有固定的最优化目标，而是依据短期准则进行决策，不是在某

个初始状态进行决策后就不再改变，而是随时都要满足生存约束，否则就会死亡；

二、生存理论研究并选择满足历史状态和当前状态约束的演化过程，对于控制系

统来说，从初始状态出发的系统轨迹可能存在多个生存解，这就需要研究和选择

生存性演化的机理，即利用惯性原则：只要系统不是处于危险状态，控制作用就

保持不变[12]. 现实的控制系统并非总是工作在最优状态下，并且在某些情况下，

很难找到最优的目标函数，再加上一些不确定因素，使得用传统的最优控制理论

解决问题时，会受到一定的限制. 鉴于生存理论以上的主要特点和优点，适于描

述这样的系统[13].

给定一个动态系统，考虑状态空间中的某集合，如果初始状态包含在这个集

合中，则整个运动轨迹都将包含在此集合中，满足这个性质的状态空间的集合，

叫做可生存域. 控制系统的能量函数已在Lyapunov理论中有了较完整的概念，可

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摘要近年来，生存理论已发展成为一门新兴学科，在系统科学与系统控制领域有着越来越广泛的应用，是研究不确定系统在各种约束下状态演变的一种方法，适用于解决经济、生物、社会等含不确定因素较多的宏观复杂大系统问题.对生存理论的研究主要涉及两个核心问题，其一是解轨迹的存在性问题，其二是解轨迹能否以及如何在特定约束下演化，即系统的可生存域问题.其中，线性系统的可生存域问题是生存理论的重要内容，主要有两类：一是椭球可生存域；二是多面体可生存域.由于多面体可以逼近任意区域，因此多面体可生存域比椭球可生存域更有应用价值.本文以微分包含理论、鲁棒性理论、生存理论、凸分析理论、切锥理论为基础，研究线性系统族的多面体可...

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