无穷区间上微分方程积分边值问题正解存在性

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3.0 陈辉 2024-11-19 6 4 490.3KB 42 页 15积分

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摘要

本文主要研究半无穷区间上具有积分边界条件的二阶微分方程正解存在性问

题.利用不同的锥上不动点定理我们分别得到了非线性项不依赖未知函数一阶导

数的边值问题和非线性项依赖未知函数一阶导数的边值问题多个正解的存在性.

全文共分为以下四章：

第一章简单介绍了常微分方程边值问题的发展现状及无穷区间上边值问题的

起源,并概述了本文的主要工作.

为了方便阅读,第二章给出了本文所涉及到的一些主要定义,以及在主要结

论的证明中所引用的重要定理等基本理论知识.

第三章中,在非线性项

  RRRf :

 



RRCh ,

且f是



Carathéodory

函数的条件下,利用 Leggett-Williams 不动点定理研究了半无穷区间上具有积分边

界条件的二阶微分方程 Sturm-Liouville 边值问题

         

     

         





























 0

limlim

,0000

,0,0,

dssusgtutptu

upu

ttutfthtutp





多个正解的存在性，得到了边值问题至少有三个正解存在的多解存在性定理.

第四章利用 Bai 与Ge 于2004 年提出并证明的不动点定理研究了非线性项依

赖一阶导数项的二阶微分方程在无穷区间上的积分边值问题































 0)()()()(lim

,0)0()0()0(

,0,0))(),(,()())()((

dssusgtutp

upu

ttututfthtutp



多个正解的存在性，得到了边值问题至少有三个正解存在的充分条件.本章所研究

的问题与上一章的不同之处在于我们对方程的非线性项添加了一阶导数项并对边

界条件进行了改动. 由于方程的非线性项中含有未知函数的一阶导数，因此本章

在条件的给出及证明方法上和上一章是不同的.

关键词：半无穷区间积分边界 Carathéodory 条件不动点定理 Green

函数正解

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of positive solutions of boundary value

problems for second-order differential equations with integral boundary conditions on

the half-line. By using some fixed point theorems in cone, the existence of multiple

positive solutions for the nonlinear term which both are not rely on and rely on

first-order derivative unknown function boundary value problems were obtained. The

whole paper is made up by four chapters as follows:

In the first chapter, we introduce some development of boundary value problems of

ordinary differential equation briefly.

For convenience, we present some definitions, theorems in the second chapter.

In the third chapter, we study a class of second-order differential equations

Sturm-Liouville boundary value problems

         

     

         





























 0

limlim

,0000

0,0,

dssusgtutptu

upu

ttutfthtutp





with integral boundary conditions on the half-line. By using Leggett-Williams fixed

point theorem, the multiple positive solutions theorem for the boundary value problems

at least three positive solutions was obtained, where

  RRRf :

 



RRCh ,

and fis a



Carathéodory function.

In the fourth chapter, we study the second-order differential equations boundary

value problems































 0)()()()(lim

,0)0()0()0(

,0,0))(),(,()())()((

dssusgtutp

upu

ttututfthtutp



with integral boundary conditions on the half-line. By using the fixed point theorem in

cone which proposed and proved by Bai and Ge in 2004, the sufficient conditions for

the boundary value problems at least three positive solutions were obtained. In this

chapter, we added a derivative term to the unknown functions and we also changed the

boundary conditions, so the conditions of the theorem and the proof are different from

the above one.

Key Words: Half-line ，Integral boundary condition ，Carathéodory

condition，Fxed point theorem，Green’s function，Positive solution

摘要

ABSTRACT

第一章绪论................................................................................................................. 1

第二章预备知识............................................................................................................. 6

§2.1 一些基本定义和定理...................................................................................... 6

第三章半无穷区间上积分边值问题多个正解的存在性....................................... 10

§3.1 引言................................................................................................................ 10

§3.2 预备引理........................................................................................................ 12

§3.3 主要结果........................................................................................................ 19

第四章非线性项依赖一阶导数的微分方程在半无穷区间上的边值问题............. 22

§4.1 引言................................................................................................................ 22

§4.2 预备引理........................................................................................................ 24

§4.3 主要结果........................................................................................................ 31

参考文献......................................................................................................................... 35

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果............................................. 39

致谢........................................................................................................................... 40

第一章绪论

常微分方程在力学、电学、生物工程等众多科学研究和工程技术领域有着丰

富的应用背景，常微分方程边值问题也是常微分方程理论研究的重要组成部分之

一.

由于在工程实际中很多问题是通过建立数学模型来解决的，这些模型很多是

通过微分方程来描述的，而这里面又有很多是常微分方程边值问题模型，因此对

常微分方程边值问题进行研究和分析是十分必要的.

常微分方程两点边值问题的研究一直是数学的热点问题之一,也已经得到了

许多系统的结果.随着科学技术的发展,两点边值问题已经不能完全满足实际的

需求.在实际应用中,常微分方程定解条件不仅依赖解在区间端点的取值,而且依

赖解在区间内部的某些点的取值,这就产生了常微分方程非局部问题或称多点边

值问题.

文献[1]利用锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了一类非线性四点边值问题

( ) ( ) (( ( )) 0, 0 1,

(0) ( ),

(1) ( )

y t a t f y t t

y y

 

 

    











正解的存在性，其中

1 1

0 1,0 ,0 ,

   

 

      



并满足

(1 ) (1 )(1 ) 0.

   

    

文献[2]利用锥拉伸与锥压缩不动点定理不和 Leggett-Williams 不动点定理研

究了以下边值问题

             

 

   

0, 0,1

0 0,

u t a t u t b t u t h t f u t t

u u

 

 

    













至少有两个和三个正解的存在性，其中

10 



 

 ,0,,0Cf

，

    

 ,0,1,0Ch

且存在

 

1,0

0x

使

 

0xh

      

0,,1,0,1,0  CbCa

由于此类问题都是在有限区间上进行研究的，而无穷区间边值问题在生物工

程,社会,经济等领域有着广泛的应用背景.在数学理论研究方面,无穷区间上问

题也经常出现在研究非线性椭圆微分方程对称径向解的过程中，因此对无穷区间

上边值问题的研究是很有现实意义的.

而对无穷区间上的边值问题最早进行研究的是基德（R.E.Kider），并在 1957

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摘要：

摘要本文主要研究半无穷区间上具有积分边界条件的二阶微分方程正解存在性问题.利用不同的锥上不动点定理我们分别得到了非线性项不依赖未知函数一阶导数的边值问题和非线性项依赖未知函数一阶导数的边值问题多个正解的存在性.全文共分为以下四章：第一章简单介绍了常微分方程边值问题的发展现状及无穷区间上边值问题的起源,并概述了本文的主要工作.为了方便阅读,第二章给出了本文所涉及到的一些主要定义,以及在主要结论的证明中所引用的重要定理等基本理论知识.第三章中,在非线性项RRRf:,RRCh,且f是1LCarathéodory函数的条件下,利用Leggett-Williams不动点定理研究了半...

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