时间序列的复杂网络和随机矩阵理论研究

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3.0 赵德峰 2024-11-19 4 4 5.62MB 47 页 15积分

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摘要

复杂系统的动力学特性一直是众多领域人们共同关注的普遍问题。时间序列

分析从复杂系统的输出序列中提取结构特征，旨在加深对复杂系统结构和动力学

机制的认识。传统的分析方法中，对于平稳时间序列，典型的处理方法有多阶矩、

功率谱分析等方法；而对于非平稳时间序列问题，又发展了短时傅立叶变换、

Gabor 变换、小波分析等技术。但是，这些技术中都隐含一个对非线性系统不成

立的假设，即承认系统本身的动力学行为是确定性的。然而，对于一个非线性系

统而言，混沌或分形性质是系统本身的根本特征。混沌性质，表现为具有某种确

定性结构的随机性，而分形结构的存在，使得序列取值分布不均，引起非平滑的

动力学涨落。

本文中，我们借助物理理论中随机矩阵理论的方法，对分形序列、混沌序列

进行了初步探索，从能谱角度进行分析，发现分数布朗运动序列的能谱统计呈

Poisson 分布，而相应 Shuffled 序列却是大范围上的均匀分布，从而体现序列的

结构特征。另外，该序列的能级间隔基本服从 Wigner 分布，说明系统的能级关

联性很强。同时，文章对 logistic 混沌序列也进行了相应的分析，尤其是，不仅

发现 logistic 序列的能级间隔分布函数的参量

与该序列的

lyapunov

指数趋势大

致相同，而且还可以体现出更为细微的变化过程，系统能级的关联性可以反映系

统的混沌程度，关联性越强，混沌程度越强。

近年来，复杂网络理论也发展成为时间序列分析的一种新兴的有效工具。本

文中，我们在 Lacasa.Lucas 可见图的基础上，提出了 2D 可见图的方法，并对几

种典型的二维规则分形进行了分析，从网络的度分布、层次结构等角度对二维地

貌进行统计描述。最后，采用复杂性理论对人类启动子序列进行研究，得出启动

子区复杂性的非对称高斯分布，有利于研究启动子模型在随机进化论中的应用。

关键词：复杂系统时间序列分析随机矩阵理论复杂网络 2D

可见图复杂性算法

ABSTRACT

Characterizing complicated dynamics for complex systems is a fundamental

problem that attracts persistent interest in diverse research fields. Traditionally，many

techniques are designed, such as for stationary time series the multiple-moment，

power spectrum analysis and for non-stationary series the short Fourier transform，

Gabor transform and wave analysis. However，there exists a false hypothesis，namely,

deterministic dynamics，in the mentioned methods. As is well known，chaotic and

fractal are fundamental features of nonlinear systems. The former exhibits a

deterministic structure with randomness, and the latter making the values un-uniform

distribution, resulting in non-smooth dynamical fluctuations.

In this thesis，we use random matrix theory to explore the characteristics of fractal

and chaotic series. It is found that spectrum for fractional Brownian motion series

behaves Poisson distribution，while the corresponding Shuffled series are uniform

distribution on a wide range. In addition, the nearest neighbor level spacing obeys

Brody distribution, indicating strong couplings between the elements. At the same

time, according to Logistic model we find the parameter representing the distribution

properties of level spacing has the same trend with lyapunov exponent, especially

reflecting some more subtle changes. The relevance of the system level can reflect the

extent of chaotic, the stronger the correlation, the stronger the chaos.

In recent years, complex network theory has developed an effective tool for time

series analysis. In this paper, based on visibility graph proposed by Lacasa.Lucas, we

put forward a way of two dimension visibility graph. As far as two dimension regular

fractal surface, we derive some statistical properties of landscape from the degree

distribution and hierarchical. Finally, the study of human promoter sequences based

on complexity theory demonstrates the asymmetric Gaussian distribution of promoter

region, which support the random evolution conjecture.

Key Word: time series analysis, random matrix theory, complex

networks, two dimension visibility graph, complexity

algorithm

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ........................................................ 1

§1.1 课题背景介绍 ..............................................1

§1.1.1 时间序列分析 ........................................ 1

§1.1.2 复杂网络发展 ........................................ 1

§1.2 国内外研究现状 ............................................ 2

§1.3 本文主要研究内容 ..........................................3

第二章时间序列分析理论的新进展 ................................... 4

§2.1 基于复杂网络理论的序列分析 ................................4

§2.1.1 复杂网络基本理论 .................................... 4

§2.1.2 主要研究方法 ........................................ 5

§2.2 基于随机矩阵理论的序列分析 ................................9

§2.2.1 能谱的统计描述 ..................................... 10

§2.2.2 随机矩阵理论 ....................................... 12

§2.3 基于复杂性理论的序列分析 .................................15

第三章二维分形地貌的复杂网络分析 ............................... 16

§3.1 研究背景 .................................................16

§3.2 数据及方法 ...............................................16

§3.2.1 二维规则粗糙表面 ................................... 16

§3.2.2 粗糙表面的表示方法 ................................. 16

§3.3 结果与讨论 ...............................................17

§3.4 本章小结 ................................................. 22

第四章典型序列的随机矩阵谱分析 ................................. 23

§4.1 研究背景 .................................................23

§4.2 计算方法 .................................................24

§4.3 结果及分析讨论 ...........................................24

§4.3.1 分形序列 ........................................... 24

§4.3.2 混沌序列 ........................................... 28

§4.4 本章小结 .................................................34

第五章人类启动子序列的复杂性分析 ................................. 35

§5.1 研究背景 .................................................35

§5.2 算法 .....................................................35

§5.3 结果与讨论 ............................................... 36

§5.4 本章小结 .................................................37

第六章总结与展望 ................................................. 38

§6.1 总结 .....................................................38

§6.2 本文未解决的问题以及未来的发展方向 .......................38

参考文献 .......................................................... 40

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .................... 44

致谢 ............................................................ 45

第一章绪论

§1.1 课题背景介绍

§1.1.1 时间序列分析

近年来，复杂系统的研究已成为国际上科学研究的前沿和热点，引起了物理

学家、生态学家、经济学家、各类工程师、计算机科学家、语言学家、社会学家

等众多领域科学家的广泛关注。时间序列分析从系统的历史行为数据出发，对系

统的结构特征进行研究，揭示系统运行规律。时间序列分析是根据动态数据揭示

系统动态结构和规律的统计方法，试图用有限的观察数据建立能够比较精确地反

映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并对系统的未来进行预报[1]。

随着信息科学与计算机技术的发展，各个学科领域不断涌现出了海量的数

据，如何从这些数据中提取复杂系统的有效信息，是当前的最根本任务。为加

深对复杂系统结构和动力学机制的认识，人们采用时间序列分析的方法，从复

杂系统的输出序列中提取结构特征。这种分析技术被广泛应用于环境、生物、

经济、金融、地震、社会等大量有次序时空数据的领域中分析，是多学科领域

共同关心的基本问题和焦点。物理理论是时间序列分析技术发展的一个基本源

泉[2～4]。物理学理论的每一个进步，往往首先被用于时间序列分析。分形、自组

织临界、混沌、少数者博弈、随机介质等理论的发展，为时间序列分析提供了

新的技术手段和思想方法，奠定了非线性时间序列分析的理论和思想基础。

§1.1.2 复杂网络发展

近十年来，复杂网络研究取得了突飞猛进的发展，越来越多的研究人员投入

到复杂网络的研究中，他们有的来自数学、物理等理论研究领域，也有许多来自

系统科学、生物学、社会学、计算机科学、化学、工程技术科学以及军事科学等

领域。作为一种对关系结构进行描述、建模和分析的理论方法，复杂网络在为研

究自然界和社会领域中很多复杂现象提供了非常有效的研究方法。

复杂网络理论的一系列开创性文章中，以 1999 年Baracasi 和Albert 在Science

上发表的《随机网络中的标度涌现》尤其引人关注。他们从许多实际复杂网络度

分布的统计结果发现幂律尾部是其普遍的特征，并提出一个动态的 BA 模型解释

产生幂律的机制，从此具有幂律度分布的网络被称为无标度网络（scale-free）。

而另外一篇开创性的文章则是 Watts 和他的导师 Strogatz 教授于 1998 年在 Nature

上发表的《“小世界”网络的集体动力学》。

目前，复杂网络的研究以及取得了不小的发展，例如：网络上的流行病传播，

网络的社区结构，网络模块划分，网络的分形结构，网络的层次结构，网络的同

步，网络的同配异配性质，网络谱分析等等。

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摘要：

摘要复杂系统的动力学特性一直是众多领域人们共同关注的普遍问题。时间序列分析从复杂系统的输出序列中提取结构特征，旨在加深对复杂系统结构和动力学机制的认识。传统的分析方法中，对于平稳时间序列，典型的处理方法有多阶矩、功率谱分析等方法；而对于非平稳时间序列问题，又发展了短时傅立叶变换、Gabor变换、小波分析等技术。但是，这些技术中都隐含一个对非线性系统不成立的假设，即承认系统本身的动力学行为是确定性的。然而，对于一个非线性系统而言，混沌或分形性质是系统本身的根本特征。混沌性质，表现为具有某种确定性结构的随机性，而分形结构的存在，使得序列取值分布不均，引起非平滑的动力学涨落。本文中，我们借助物理理论...

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