磨擦市场下的投资组合问题研究

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3.0 赵德峰 2024-11-19 4 4 763.79KB 53 页 15积分

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摘要

现代证券投资组合理论一直是世界各国经济学家倾力关注的一个重要的理论

研究前沿．投资组合管理的过程主要包括各种资产风险与收益的评估、对资产配

置进行组合优化以及组合业绩的衡量．其中对投资组合的优化是研究中最核心的

部分．它运用凸分析、最优化、模糊数学、随机分析、偏微分等数学工具，结合

信息科学与行为科学的理论与方法，通过建立数学模型讨论金融市场投资规律并

为个人或机构投资者提供理论指导．本文主要研究了以下几方面的内容：

1、概述了几种常见的投资组合选择模型．

2、基于 Konno 的 MAD 模型，提出了一种新的买空－卖空投资组合选择方法，

并考虑了交易费这种摩擦．采用了极大熵方法对模型进行优化，并给出这

一问题的数值解法．实证分析表明，该模型与实际情况的吻合度很好，且

具有较高的速度和精度．

3、在 B-S 定价公式中，波动率 0

时失效，但在某些极端的情形下会出现波

动率很小的情况．解释了 0

时的金融意义，利用无套利原理得到了 0

时欧式期权的定价公式，并在极限意义下将 B-S 公式推广到了 0=

的情

况．同时给出了波动率很小时期权价格的近似估计．

4、研究了终身寿险型投资连结保单的公平价值问题，利用寿险精算中的期望

贴现方法，给出了在风险中性下保单的定价，建立了保单的公平价值的偏

微分方程模型，得到了保单价值的封闭形式解，并作了实证分析．

关键词：投资组合选择资产配置极小极大极大熵波动率

Black-Scholes 公式投资连结保单定价

ABSTRACT

The theory of modern securities portfolio has a very important position in the

research frontiers at all times. The management of securities portfolio mainly includes

forecasting returns and risk from securities, optimizing portfolio and measuring

portfolio performance. Portfolio optimization is the most important part in those

theories, which uses mathematical methods and tools such as convex analysis,

optimization, fuzzy mathematics, stochastic analysis，partial differential equation(PDE)

etc and combines with information science and behavioral theory. By setting up

mathematical models, the theory discusses the investment rules in finance market and

offers theoretic guide for investors. The conclusions and main innovations in this article

are as follows:

1. Several basic portfolio models have been surveyed and reviewed.

2. Based the MAD model of Konno’s, a new long-short portfolio selection model

is proposed with the attrition of transaction cost. And the numerical method for

this problem is given by using the maximum entropy technique. The empirical

analysis shows that the model consists with the finance fact and has a good

accurate and convergence speed.

3. It makes no sense for Black-Scholes' formula when the volatility is zero. We

explain the financial means and present the pricing model and formula for

European options by use of arbitrage-free principle when 0

. Then we prove

that the Black-Scholes' formula also holds in the sense of limit when 0=

, and

estimate the option price when the volatility is very small.

4. This article also discusses the financial value of the whole-life-equity-linked

policies. By used the principle of expected discount, the pricing model and

method are given in the risk-neutral measure. Then we develop the PDE model

and derive the closed-form solution of the pricing formula for the policies

valuation. This paper also provides the empirical tests and analysis.

Keywords: portfolio selection, asset allocation, minimax, maximum

entropy, volatility, Black-Scholes' formula, equity-linked,

policy pricing

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ...................................................... 1

§1.1 研究背景及意义 .............................................. 1

§1.2 研究现状 .................................................... 2

§1.3 本文结构与主要工作 .......................................... 3

第二章摩擦市场下买空－卖空投资组合选择的优化方法 .................. 5

§2.1 投资组合选择的基本模型 ..................................... 5

§2.2 金融市场的资产配置和选择 ................................... 9

§2.2.1 一阶随机占优（First Stochastic Dominance, FSD） ........ 10

§2.2.2 二阶随机占优（Second Stochastic Dominance,SSD） ........ 10

§2.3 基于离差的投资组合选择模型 ................................ 11

§2.3.1 具有交易费用的MAD模型 .................................. 11

§2.3.2 基于价值离差的资产选择模型 ............................. 15

§2.4 基于买空－卖空的投资组合选择的优化方法 .................... 18

§2.4.1 模型的构建 ............................................. 19

§2.4.2 优化方法 ............................................... 21

§2.4.3 算法实现与实证分析 ..................................... 22

§2.5 小结 ...................................................... 25

第三章基于欧式期权的布莱克－斯科尔斯定价公式研究 ................. 27

§3.1 布莱克－斯科尔斯公式简介 ................................... 27

§3.2 布莱克－斯科尔斯期权定价公式的进一步研究 ................... 30

§3.3 小结 ....................................................... 34

第四章投资连结保险的定价问题研究 ................................. 35

§4.1 投资连结保险的原理及特征 .................................. 35

§4.2 终身寿险型投资连结保险的定价问题研究 ...................... 38

§4.2.1 问题的提出 ............................................. 38

§4.2.2 定价模型 ............................................... 39

§4.2.3 模型求解及保单价值 ..................................... 40

§4.2.4 比较静态分析 ........................................... 42

§4.2.5 实证分析 ............................................... 44

§4.3 小结 ...................................................... 45

第五章结论及展望 ................................................. 47

参考文献 ........................................................ 49

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ..................... 53

致谢 ............................................................ 55

第一章绪论

§1.1 研究背景及意义

现代金融理论起源于 20 世纪 50 年代初 H．Markowitz 提出的投资组合理论．它

主要研究怎样在未来不确定的情况下对资产进行投资以使得收益最大和风险最

小．这一理论最先把数理工具引入到金融问题的研究中，从此金融学摆脱了纯粹

描述性的定性研究和单凭经验操作的状态．该文[1]在理论界被称为二十世纪发生在

华尔街的第一次金融革命，它引发了大量对现代证券组合的分析工作．

我国的资本市场近年来正发生着深刻的变化，作为新兴市场的“金砖四国”

之首，2007 年沪深股市的总市值由 8.76 万亿跃升为 32.44 万亿，年增幅达 268.68%

为全球第一1，而内地股市的新股发行（IPO）在 2006 年及 2007 年两度蝉联全球

融资冠军．经过 2007 年的飞跃，中国A股市场已成为继美、日、英之后全球第四

大证券市场，融资能力大大增强，在国民经济和世界经济中的作用与日俱增．随

着投资者对国内股市的普遍看好，对资本市场进行投资也日益成为与普通国民息

息相关的事情．

与此同时，我国资本市场层次开始逐步迈向多样化，金融衍生产品也蓬勃发

展起来，如即将推出的创业板市场和股指期货交易，都将给投资者的投资方式和

理念带来深远的影响．随着我国金融市场的开放，资本的运作效率将得到提高，

整个市场也会日趋成熟．因此，在股市容量和投资者结构不断变化的环境中，更

要有有效的投资组合选择和管理的理论作为指导，特别需要能够在当前市场情况

下动态地反映市场信息，并且合理地权衡风险和收益的投资组合模型．

本文主要讨论摩擦市场情形下金融传统产品和金融衍生产品的投资组合选择

问题，现实的金融市场总是存在这样或那样的摩擦，如税收、红利、交易费等．忽

略市场摩擦的存在，会导致得到的投资组合缺乏较大的实际应用价值．因此，本

文主要着眼于摩擦市场下的投资组合选择研究，所得的结果能更接近实际金融市

场的情况．

1中国上市公司市值管理研究中心 2008 年1月9日发布的《2007 年中国上市公司市值年度报告》

摩擦市场下的投资组合问题研究

§1.2 研究现状

Markowitz 于1952 年[1]最早提出了关于投资组合的均值－方差（M-V）模型，

假定证券收益是随机变量，利用证券收益的方差度量投资风险，这一方法成为投

资组合研究领域的核心，它与 Black-Scholes 期权定价公式的问世并称为华尔街的

两次金融革命．上个世纪 60 年代，投资组合理论由众多学者进一步发展，Sharp[2]、

Linter[3]和Mossin[4]等把 Markowitz 的均值方差理论推广到竞争经济中，他们发现：

如果市场出清，所有的投资者都会选择由无风险资产和市场组合线性组合后构成

的投资组合，可以用一个简单的模型来刻画资产收益率．到 20 世纪 70 年代，金

融理论进一步成熟，人们将理论大量应用于金融实际问题中，Black[5]考虑了借空

限制，而 Milne 和Smith[6]研究了有交易费的情况，并在期权定价上取得了突破性

进展，Black、Scholes[7]和Merton[8]给出了期权的性质和定价公式，Cox、Ross 和

Rubinstein[9]给出了计算的二叉树方法．随后，基于无套利理论和数理分析的金融

理论得到了迅速的发展，不但提供了高度灵活的理论模型，而且在金融市场上有

着广泛的应用．

大量的文献均是基于假设市场是无摩擦的，一般说来，任何形式的摩擦均使

问题复杂化，然而在实际的金融市场中，总是存在着多种形式的摩擦，例如买进

卖出差价、交易费、税收、只能买卖整数量（股）的股票、买卖有数量限制等．近

年来，摩擦市场的投资组合问题引起人们研究的重视，这是为了更好地应用于金

融实际市场．在存在摩擦的前提下，投资组合问题的研究难度加大了，目前研究

也取得了一些成果，Prisman[10]利用最优化方法给出有税收时的模型，Garman 和

Ohlson[11]考虑了比例交易费的情形，Dermody et al[12]研究了更加符合实际的交易费

用，将大投资机构与小投资者的交易费用区别讨论.

除了标准的 M-V 模型之外，还有多种常见的投资组合模型．Sharpe 提出单指

数模型[2,13]，使投资组合理论特别是在大规模的证券经营上更实用．Konno 和

Yamazaki 构造均值－绝对离差模型（MAD）[14－18]，该模型具有 LP 计算的特征，

并且证明：MAD 模型一致于二阶随机占优准则，在收益率服从正态分布条件下，

期望绝对离差与方差一致，并且 Konno 和Yamazaki 还将其研究成果应用于东京股

票市场，并与 MV 证券组合理论进行比较．Speranza[19]提出了半绝对偏差风险函

数．Ogrycrak[20]，Ouderri 和Sullivan[21]，Green 和Hollifield[22]研究了半方差作为风

险度量标准的投资组合问题．Young 用极大极小规则建立了一个投资组合选择的线

性规划模型[23]，该模型实际上是以投资组合收益的最小顺序统计量作为风险度

量．Cai 等[24]用投资组合等各项资产收益中的最大期望绝对偏差来刻画风险，也给

第一章绪论

出了一个投资组合选择的线性规划模型，同时给出了解析投资组合策略．Konno

和Suzuki[25]给出了均值－方差－偏度模型，这种模型在收益率不对称的情况下是

非常有价值的．因为具有相同的均值和方差的投资组合很可能具有不同的偏度，

而偏度大的投资组合获得较大收益的可能性也大．Fishburn[26]用与预先给定的目标

收益的某种负距离的期望来度量风险，其中绝对距离与下半绝对偏差相似，而欧

式距离与下半方差相似．但两者有很大区别，下半绝对偏差和下半方差是相对均

值而言的，而投资组合收益的均值一般随着组合策略的变化而变化．Fishburn 的风

险度量是相对预先给定的收益目标而言的，这个目标不会随着组合策略的变化而

变化．Brennan[27]，Elton 和Gruber[28]，Statman[29]等还研究了最优投资组合所应该

包含的资产个数选择问题．Roy[30]，Pyle 和Yurnovsky[31]等研究了安全－首要准则

下的最优资产组合选择问题．与收益－风险型投资组合选择模型的思路不同，安

全首要准则模型的决策规则是极小化投资组合收益小于给定的“灾险水平”这一

事件的概率，这与后来随机规划中的机会约束概念相一致．

上世纪 50 年代，与 Markowitz 提出均值－方差模型同时，Bellman[32]提出动态

规划模型，极大地推动了动态优化决策的发展．自此，动态模型的研究开始成为

实际投资与学术研究的一个重要课题[33-42]．Mossin[33,34]最早考虑多阶段投资组合问

题，他使用动态规划方法将 Markowitz 的单阶段模型推广到多阶段情

形．Merton[8,35-37]等人使用 Bellman 开创的动态规划方法，考察了价格随机运动的

不确定情形下，个体如何连续地做出消费/投资决策，使得终身效用最大

化．Samuelson[38-40]和Fama[41,42]也是较早研究动态投资组合的学者，他们对推动多

期资产配置的学术研究起到了重要作用．

我国对现代金融学的研究起步较晚，尽管如此，我国学者已经在这一领域作

出了许多重要的、创造性的贡献[43-50]．

§1.3 本文结构与主要工作

本文分为五章，第一章为绪论，介绍本文选题的背景以及现有文献的成果．

第二章首先回顾一些主要的对于收益率分布的处理方法，并回顾其历史与背

景；在对于风险的讨论部分，我们着重回顾和分析对于风险度量指标选择的历史、

变化以及各自的出发点和利弊.总结了投资组合选择的常见类型，给出了在金融市

场中进行资产选择的随机占优方法．介绍了具有交易费用的 MAD 模型．从行为金

融的理论角度，结合展望理论，提出了基于价值离差的资产选择模型．构建了一

种新的买空－卖空投资组合选择的优化方法．

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摘要：

摘要现代证券投资组合理论一直是世界各国经济学家倾力关注的一个重要的理论研究前沿．投资组合管理的过程主要包括各种资产风险与收益的评估、对资产配置进行组合优化以及组合业绩的衡量．其中对投资组合的优化是研究中最核心的部分．它运用凸分析、最优化、模糊数学、随机分析、偏微分等数学工具，结合信息科学与行为科学的理论与方法，通过建立数学模型讨论金融市场投资规律并为个人或机构投资者提供理论指导．本文主要研究了以下几方面的内容：1、概述了几种常见的投资组合选择模型．2、基于Konno的MAD模型，提出了一种新的买空－卖空投资组合选择方法，并考虑了交易费这种摩擦．采用了极大熵方法对模型进行优化，并给出这一问题的数...

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