次椭圆算子特征值的Riesz平均不等式及其应用

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3.0 侯斌 2024-11-19 7 4 436.25KB 38 页 15积分
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摘 要
本文主要研究定义在 Heisenberg 群的有界区域上的次椭圆算子特征值的
Riesz 平均的性质，以及次椭圆算子特征值的几类不等式间的关系，利用 Riesz 平
均和 Legengre 变换等相关知识对次椭圆算子的特征值进行估计．本论文结构为：
第一章．绪论．简单介绍研究背景以及本论文的主要研究成果．
第二章．主要研究Heisenberg群上的次椭圆算子特征值的Riesz平均不等式．首
先建立相关特征值的迹公式，得到对应的Riesz平均；其次借助Riesz平均，研究
Heisenberg群上的次椭圆算子的特征值性质，建立该算子的特征值的
Riesz
平均不
等 式 ． 即 ： 当
0 2, 0z
 
时 ， 成 立
1
1
( ) (1 ) ( )
2
n
R z R z
z
 
 
和
( ) (1 ) ( )
2
n
R z R z
z
 
 
，且
(1 )
2
( )
n
R z
z
是关于
z
的非减函数；当
2 , 0z
 
时，成
立
1
1
( ) (1 ) ( )
n
R z R z
z
 
 
和
1
( ) ( ) ( )R z n R z
z
 
 
，且
是关于
z
的非减函数．
第三章．主要研究关于次椭圆算子特征值的几类不等式的关系．先得到次椭
圆算子特征值的 Yang 型不等式并证明了 Riesz 平均不等式与 Yang 型不等式的关
系；然后推导出 Kac 型不等式以及 Yang 型不等式与 Kac 型不等式的关系．
第四章．讨论
2
，
1 2
 
和
0 1
 
三种情况下次椭圆算子的 Riesz 平
均的下界；接着利用 Riesz 平均和 Legengre 变换研究了次椭圆算子特征值的上界，
得到的主要结果为：若
2(1 )
2
n j
kn
，成立
1
11
2
2 ( )
2(1 )
n
kn
j
n k
n j
 
 
 
．
关键词：Heisenberg 群 次椭圆算子 迹公式 Riesz 平均 热核函数
Laplace 变换
ABSTRACT
In this paper，we mainly research the property of Riesz means of eigenvalues of the
subelliptic Laplacian which defined in a bounded domain in the Heisenberg group，and
the relationship between some types of inequality of the subelliptic Laplacian．We use
Riesz means 、Legendre transform and other related knowledges to estimate the
eigenvalues of the subelliptic Laplacian．The structure of this paper goes as follows：
Chapter 1．An introduction．We simply introduce the research background and
main results of this paper．
Chapter 2 ．We focus on the inequalities for Riesz means of eigenvalues of the
subelliptic Laplacian on the Heisenberg group．First，we establish the trace formula of
associated eigenvalues，then we obtain the corresponding Riesz means．We can use the
Riesz means to study the properties of eigenvalues of the subelliptic Laplacian on the
Heisenberg group，to establish some inequalities for the Riesz means of eigenvalues
of the operators．
For
0 2, 0z
 
，
1
1
( ) (1 ) ( )
2
n
R z R z
z
 
 
，
( ) (1 ) ( )
2
n
R z R z
z
 
 
，
and
(1 )
2
( )
n
R z
z
is
a nondecreasing function of z．
For
2 , 0z
 
，
1
1
( ) (1 ) ( )
n
R z R z
z
 
 
，
1
( ) ( ) ( )R z n R z
z
 
 
，and
is a nondecreasing function of z．
Chapter 3 ．We study the relationship between some types of inequality of the
subelliptic Laplacian．Firstly，we obtain the
Yang-Type
inequality．Secondly，we show
the relationship between
Yang-Type
inequality and Riesz means inequalities of the
subelliptic Laplacian ．Thirdly ，we have the
Kac
’s inequality and focus on the
relationship between
Yang-Type
inequality and the
Kac
’s inequality．
Chapter 4．We discuss the lower bound of Riesz means of the subelliptic Laplacian
in three cases(
2
，
1 2
 
and
0 1
 
)；then we use the Riesz means and
Legendre transform to research the upper bound of the eigenvalues of the subelliptic
Laplacian．The main result as follows：
If
2(1 )
2
n j
kn
，then we have
1
11
2
2 ( )
2(1 )
n
kn
j
n k
n j
 
 
 
．
Key Words ：Heisenberg group, Subelliptic Laplacian, trace identity,
Riesz means, Heat kernel function, Laplace transform
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪 论…………………………………………………………………...... 1
§1.1 研究背景………………………………………………………………… . 1
§1.2 本文的主要成果………………………………………………………….. 2
第二章 次椭圆算子的 Riesz 平均不等式……………………………………....... 5
§2.1 预备知识………………………………………………………….............. 5
§2.2 次椭圆算子的迹公式…………………………………………………….. 6
§2.3 次椭圆算子的 Riesz 平均不等式及其证明……………………………... 9
第三章 次椭圆算子特征值的几类不等式及相互关系…………………............ 13
§3.1 次椭圆算子特征值的 Yang 型不等式………………………….............. 13
§3.2 Riesz 平均不等式与 Yang 型不等式的关系……………………...……..17
§3.3 Kac 型不等式与 Yang 型不等式的关系…………………………….........20
第四章 次椭圆算子 Riesz 平均的下界及其特征值估计………………………. 23
§4.1 次椭圆算子 Riesz 平均的下界…………………………………………. 23
§4.2 次椭圆算子的特征值估计……………………………............................ 26
参考文献……………………………..................................................….................. 33
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果..................…….............. 36
致 谢……………………………..................................................…….................. 37
第一章 绪论
1
第一章 绪 论
§1.1 研究背景
到现在为止，欧氏空间中有界域上的Laplace算子的特征值估计已经得到广泛
研究(参见 [1], [2], [3], [4])．
1980年，Hile 和Protter 证明了
11
1
4
n
j
jn j
d
n
 
．
2007 年，
Evans M H 和Hermi L 利用 Riesz 平均不等式得到 Laplace 算子特征
值的上界，且所得结论优于我们熟知的 Cheng-Yang 的结果
2
1
1
4
(1 )
kd
k
d
 
和Weyl-Type 估计
2 2 2
1
1
1 (1 )
2
kd d d
d
dH k
 
，
其中
2 2
1,1 1,1
2 2 2
2
( )
d
d d d
j
d
HJ j
 
．
2007年，Cheng 和Yang 证明，若
1k d 
，
1
2 2
2
1
2
1
4 8 8
(1 ) 1 ( 1)
1 ( 1)
kd d
d k
d d d
 
 
 
 
 
．
2008年，Harrell E M 和Hermi L 证明了对于Laplace算子，若
12
14
d
k j d
，成
立
2
1
2
14
2 ( )
12
d
kd
j
d
k
dj
 
 
 
 
 
．
近年来，有越来越多的学者开始关注Heisenberg 群
n
， 如 B.Helffer[5] ，
P.Levy-Bruhl[6]，孙利民[7]，钮鹏程[8,9]等．Heisenberg群在若干数学分支起到重要作
用，如表示论、多复变函数、调和分析、偏微分方程、量子力学．在过去几十年，
对Heisenberg群的研究已经取得了很大的进展，但是对于Heisenberg群上左不变微
分算子特征值相关问题的研究成果比较少．
本文考虑如下次椭圆算子的特征值问题
摘要：

摘要本文主要研究定义在Heisenberg群的有界区域上的次椭圆算子特征值的Riesz平均的性质，以及次椭圆算子特征值的几类不等式间的关系，利用Riesz平均和Legengre变换等相关知识对次椭圆算子的特征值进行估计．本论文结构为：第一章．绪论．简单介绍研究背景以及本论文的主要研究成果．第二章．主要研究Heisenberg群上的次椭圆算子特征值的Riesz平均不等式．首先建立相关特征值的迹公式，得到对应的Riesz平均；其次借助Riesz平均，研究Heisenberg群上的次椭圆算子的特征值性质，建立该算子的特征值的Riesz平均不等式．即：当02,0z时，成立11()(1)()2n...

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