对称锥优化与互补问题的正则光滑化方法

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3.0 侯斌 2024-11-19 4 4 606.95KB 48 页 15积分

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摘要

对称锥优化与互补问题是近几年兴起的一类新型优化问题,它包括线性规划、

半定规划以及二阶锥规划等主要优化模型,并且具有广泛的实用性.本文主要研究

的是求解对称锥(尤其是二阶锥)优化与互补问题的正则光滑化方法.正则光滑化

方法可以很好的解决实际问题所对应的优化与互补模型中常出现的“病态”及非

光滑的情况,并且这类方法已经有效的解决了一些优化与互补问题.全文的结构可

概括如下:

第一章介绍了对称锥的定义和三种常见的对称锥,并且介绍了对称锥优化与

互补问题的一般形式及其广泛的实用性.简要回顾了欧几里得若当代数的基本概

念、性质和定理.

第二章借助欧几里得若当代数的技术,构建了对称锥规划问题的熵-指数函数

类的原始-对偶中心路径,并证明了其收敛性.进一步,将广义临近点方法应用到对

称锥规划问题中,并给出了其原始-加权对偶序列的收敛性的证明.

第三章利用二阶锥表达式的等价变形,将凸二阶锥规划问题转化为边界约束

最优化问题,即带有四个非负约束条件的非线性优化问题.在适当的条件下,证明

了变形后的问题的稳定点是原问题的解.

第四章,以欧几里得若当代数的性质作为主要的理论工具,将临近点光滑化方

法推广到求解二阶锥互补问题,给出并证明了相关的定理和性质.进一步,在此方

法的基础上给出了不精确算法及光滑牛顿算法,最后得出了算法的收敛性.

关键词: 欧氏若当代数中心路径对称锥规划临近点光滑化方法收

敛性凸二阶锥规划价值函数光滑牛顿法

ABSTRACT

The symmetric cone optimization and complementarity problems are a new type of

the optimization problems,including the linear programming,the semidefinite

programming and the second-cone programming,respecially.This dissertation is devoted

to study the regularization and smoothing methods for the symmetric cone

programming problems,respecially for the second-order cone programming

problems.The regularization and smoothing method can solve the ill-posed and

nonsingular cases which often appear in the optimization and complementarity models

associated to practical problems.And this kind of methods have behaved for some

optimization and complementarity problems effectively.The structure of the paper may

be summarized as follows:

Chapter 1 introduces the definition of symmetric cone,three kinds of common

symmetric cones and the usual forms of the optimization and complementarity problems

for the symmetric cones with its broad applications,and also overviews some properties

about the Euclidean Jordan algebras.

Chapter 2,based on the properties of the Euclidean Jordan algebras,analyzes the

convergences of primal and dual central paths associated to entropy and exponential

functions for the symmetric cone programming problems.As an application,the

generalized proximal point method is extended to the symmetric cone programming and

the convergences of primal and weighed dual sequences are proved.

Chapter 3,by using the equivalent expression of the second-order cone,

reformulates the convex second-order cone programming as a boxed constrained

optimization,which is a nonlinear programming with four nonnegative constraints.

Under certain conditions,the stationary point of the reformulation problem solves the

orginal problem.

Chapter 4,with the help of the Euclidean Jordan-algebraic technique,extends the

combined proximal point and smoothing method to deal with the second-order cone

complementarity problems,and proposes some related properties.Also the corresponding

inexact algorithm and smoothing Newton algorithm are given and the convergences are

obtained.

Key Word: Euclidean Jordan algebras, Central path, Symmetric cone

programming, Proximal point and smoothing method, Convergence,

Convex second-order cone programming, Merit function, Smoothing

Newton algorithm

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论..............................................................................................................1

§1.1 对称锥优化与互补问题简介....................................................................1

§1.2 欧几里得若当代数概述............................................................................3

§1.2.1 基本概念和定理................................................................................3

§1.2.2 几个例子............................................................................................5

§1.3 本文主要研究内容及结构介绍................................................................6

第二章基于中心路径和广义临近点方法的对称锥规划问题的收敛性..............8

§2.1 引言............................................................................................................8

§2.2 预备知识....................................................................................................9

§2.3 中心路径..................................................................................................11

§2.4 广义临近点方法......................................................................................19

第三章凸二阶锥规划的边界约束优化变形........................................................22

§3.1 引言..........................................................................................................22

§3.2 二阶锥规划问题的等价变形..................................................................22

§3.3 小结..........................................................................................................26

第四章求解二阶锥互补问题的临近点光滑化方法............................................27

§4.1 引言..........................................................................................................27

§4.2 预备知识..................................................................................................27

§4.3 临近点光滑化方法..................................................................................29

附录全文通用记号................................................................................................40

参考文献..................................................................................................................41

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果......................................45

致谢..........................................................................................................................46

第一章绪论

§ 1.1 对称锥优化与互补问题简介

对称锥优化问题的一般形式为:

 

0.t.s

min



(1.1.1)

其中

是

维欧氏空间,

JK 

是一对称锥,

JJf :

是一个连续可微的映射.

对称锥互补问题的一般形式为:求解

Jx 

,满足

   

, , , 0x K F x K x F x  

(1.1.2)

其中

是

维欧氏空间,

JK 

是一对称锥,

JJF :

是一个连续可微的映射.

下面首先给出对称锥的定义[1].

定义 1.1.1 假设

是一个

维实数向量空间,

JK 

为一个闭凸锥,我们用

 

表示

上所有线性变换构成的集合,

 

KAut

表示

的所有自同构群,即

   

 

KTKJLTKAut 

Kint

表示

的所有内点组成的集合,若

满足下列

条件:

(a)

是自同构的,即对

 

KAutTK  ,int,



满足



T

(b)

是自对偶的,如果

的对偶锥

是

,即

 

KxxyJyKK  ,0,:

则称

为对称锥.

接着我们介绍三种常见的对称锥.

(1) 当

RJ 

且

 

kixxRKyxyxRyx i

kTk ,,1,0,,,,  

表示非负的实

数空间,这时

是一对称锥.

(2) 当

SJ 

时 , 其中

表示

kk 

阶对称矩阵空间,

 

, , , ,

x y S x y tr xy  

SK 



表示半正定矩阵空间,这时

是一对称锥.

(3) 当

1

 kk RRQJ

时,且

   

,,,,,, 00 yxyxQyyyQxxx Tkk 

QK 



 

  

2 2

0 0 1 1

x x J x x x x x 

     

表示 Lorentz 锥或二阶锥,这时

是一

对称锥.

对称锥优化与互补问题(1.1.1)-(1.1.2)是近几年兴起的一类新型优化问题,包括

线性规划、半定规划以及二阶锥规划等主要优化模型.该模型在经济、管理、交通、

工程技术、通讯以及控制等实际部门都有着广泛的应用,其主要特征有三个:

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摘要：

摘要对称锥优化与互补问题是近几年兴起的一类新型优化问题,它包括线性规划、半定规划以及二阶锥规划等主要优化模型,并且具有广泛的实用性.本文主要研究的是求解对称锥(尤其是二阶锥)优化与互补问题的正则光滑化方法.正则光滑化方法可以很好的解决实际问题所对应的优化与互补模型中常出现的“病态”及非光滑的情况,并且这类方法已经有效的解决了一些优化与互补问题.全文的结构可概括如下:第一章介绍了对称锥的定义和三种常见的对称锥,并且介绍了对称锥优化与互补问题的一般形式及其广泛的实用性.简要回顾了欧几里得若当代数的基本概念、性质和定理.第二章借助欧几里得若当代数的技术,构建了对称锥规划问题的熵-指数函数类的原始-对...

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