几类与潜伏期有关的传染病模型的稳定性分析

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3.0 牛悦 2024-11-19 5 4 603.07KB 53 页 15积分
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摘 要
自从 1927 年 Kermark 和Mckendric 建立著名的三仓室 SIR 流行病模型以来，
这种仓室建模思想一直被广泛应用并不断得到改进和发展.尤其进入七八十年代
以后，这方面的研究逐渐成为热点，出现了大量的成果，从而也促进了数学理论
流行病学的建立和发展，在文献[1]和其它众多的文献中给出了在多种不同条件下建
立的传染病数学模型，这些模型多是在不考虑具有潜伏期或考虑潜伏期但却假定
在潜伏期内不具有传染性的情况下建立.而事实上，在现实中许多传染病当被感染
后都存在一个潜伏期（即传染后尚未发病之前具有一个潜伏阶段），且在潜伏期内
就已经具有了对外的传染性.所以，在建模研究中考虑具有潜伏期的传染病模型具
有更实际的意义.
本文以潜伏期且在潜伏期和染病期内具有传染性的传染病作为研究对象，建
立数学模型并研究疾病的发展情况.这些模型一般情况下是竞争系统.因此，从非
线性动力学角度，本文运用常微分方程理论和方法，借助数学上的轨道稳定和复
合矩阵，巧用迭代方法把疾病的地方平衡点的全局稳定性彻底解决，从而揭示了
潜伏期和染病期传染对疾病发展趋势的共同影响. 本文共分为五章，从第二章到
第五章分别对每一个模型进行稳定性分析.
本文第一章主要介绍了研究传染病的现实意义以及传染病模型的理论背景，
并且简单介绍了本文的主要工作.
第二章研究了潜伏期和染病期均传染的
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模型.
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第三章研究了一类染病期和潜伏期均具有传染性的
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第四章研究了具有饱和传染率及垂直传染且在潜伏期和感染期都传染的
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关键词: 阈值 局部渐近稳定 全局渐近稳定 Liapunov 函数 平衡点
复合矩阵
ABSTRACT
Since Kermark and Mckendric established famous three-cabin SIR epidemic model
in1927, this modeling concept has been widely and continuously improved and
developed. Especially, the research in this area has become hot spots, and there has been
a large number of results, which also promoted the establishment of mathematical
theory and development of epidemiology, after the seventies and eighties. Many
mathematical models of infectious diseases were established under a variety of defferent
conditions in literature [1] and many other literatures, and these model were established
without incubation period considered generally. Although that considered, it assumes
that the case is not contagious. But, in fact, many infectious diseases have an incubation
period after infection(ie, after infection, there is latency period before infectived), and
the incubation period has been contagious with the outside. Therefore, in the process of
modeling, there is more practical significance by considering the incubation period of
infectious disease.
This text established that the epidemic model has latency period and the latency
period and infected period with a contagious. These models are generally competitive
system. Therefore, this article is finished under help of mathematical tracks stability and
complex matrices, and cleverly use of iterative methods to solve the global stability of
local equilibrium. This article is divided into five chapters.
In the first chapter, we introduced the practical significance of the study of
infectious diseases, and infectious disease model of theoretical background and
introduced the main work of this paper.
In the second chapter ,a kind of SEIS epidemic model with transmission in both
latent period and infected periods is studied.
In the third chapter ,a kind of SEIR epidemic model with transmission in both
latency period and infectious period.
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In the fourth chapter, we studied a kind of SEIS epidemic model with saturated and
vertical transmission rate in the latent period and in infectious period of the model.
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In the fifth chapter, we established SEIR epidemic model with delay and latency
infected.
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Key Word: threshold value, partial asymptotic stability, global
asymptotic stability, Liapunov function, equilibrium point, effective
contact rate
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪 论 ......................................................... 1
§1.1 研究传染病的重大意义 ....................................... 1
§1.2 基本传染病动力学模型 ....................................... 2
§1.3 本文的主要工作 ............................................. 3
第二章 潜伏期和染病期均传染的 SEIS 模型的分析 ......................... 5
§2.1 模型的建立 ................................................. 5
§2.2 预备知识 ................................................... 5
§2.3 平衡点的存在性 ............................................. 6
§2.4 主要结果 ................................................... 7
§2.5 结 论 .................................................... 12
第三章 一类具有预防接种且潜伏期具有传染性的 SEIR 流行病模型 .......... 13
§3.1 模型的建立与平衡点的存在性 ................................ 13
§3.2 平衡点的稳定性和系统的持续性 .............................. 14
§3.3
0
时，潜伏期没有传染性的情况 ........................... 17
§3.4 结 论 .................................................... 20
第四章 具有垂直传染和饱和传染率的 SEIS 的流行病模型全局稳定性分析 .... 21
§4.1 模型的提出 ................................................ 21
§4.2 地方平衡点的存在和唯一性 .................................. 23
§4.3 奇点分析 .................................................. 24
§4.4 地方平衡点的全局稳定性 .................................... 28
§4.5 结 论 .................................................... 30
第五章 一类具有时滞和非线性接触率的 SEIR 传染病模型分析 .............. 31
§5.1 模型建立 .................................................. 31
§5.2 平衡点的存在和局部性 ...................................... 31
§5.3 系统的持久性 .............................................. 34
§5.4 系统的全局稳定性 .......................................... 38
§5.5 结 论 .................................................... 44
参 考 文 献 ......................................................... 45
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ...................... 49
致谢 ................................................................ 50
第一章 绪论
1
第一章 绪 论
§1.1 研究传染病的重大意义
传染病历来是危害人类健康的大敌，它不仅带给人类痛苦和恐慌，有时也会
导致整个社会的衰退.在第一次世界大战期间，肆虐欧洲的一场流感的爆发，导致
了2000 万人的死亡，这也是导致第一次世界大战结束的原因之一.在我国历史上，
鼠疫、霍乱、天花等频频流行；疟疾、血吸虫病、梅毒等广泛存在，给人民生活
带来深重的灾难.因此，研究传染病动力学模型具有重要意义.
早在 1760 年D.Bernoulli 就曾用数学研究过天花的传播,但确定性传染病模型
的研究应该说始于 20 世纪. 1906 年Hamer 为了理解麻疹的反复流行,构造并分析了
一个离散时间模型
]41[
.1911 年公共卫生医生 Ross 博士利用微分方程模型对疟疾在
蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究
]42[
,其结果表明,如果将蚊虫的数量
减少到一个临界值以下,那么疟疾的流行将会得以控制.Ross 的这项研究使他第二
次获得了 Nobel 医学奖. 1926 年Kermack 与McKendrick 为了研究 1665-1666 年黑
死病在伦敦的流行规律以及 1906 年瘟疫在孟买的流行规律,构造了著名的 SIR 仓
室模型
]43[
.继后,又在 1932 年提出了 SIS 仓室模型
]44[
,并在分析所建立模型的基
础上,提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”,为传染病动力学的研究奠定了基
础.传染病动力学的建模与研究于 20 世纪中叶开始蓬勃地发展.作为标志性的著作
是Bailey 于1957 年出版、1975 年第二版的专著
]45[
.
传染病大规模的流行对于人类文明有着非常深刻和全面的影响,它往往比战
争、革命、暴动来得还要剧烈,因为它直接打击了文明的核心和所有生产力要素中
最根本的——人类本身,打击了他们的身体,也打击了他们的心灵.
因为中国是世界上人口最多的国家,中国经济发展最重要的区域也是人口最
为密集的区域,中国又是一个经济、旅游开放的社会,包括中国人到外国去、外国
人到中国来,十分频繁.中国经济已经是全球经济中十分重要的部分,中国的信息
与世界的信息紧密相连.在此情势下,如何尽快地研究出一套对付可能突发的有
潜在危险的传染病的制度,就成为非常重要的事情.随着科学技术和社会组织方式
的进步,人类不断征服疾病,并获得更加强有力的技术手段和组织方式.但细菌病
毒也在进化.在全球化加速的今天,我们要加速建设现代化的公共卫生系统,尽快
建立应对可能突发的有潜在危险的公共卫生事件的有关信息沟通、预防治疗与全
球协作的机制,最终战胜疾病恶魔.
近年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析
摘要：

摘要自从1927年Kermark和Mckendric建立著名的三仓室SIR流行病模型以来，这种仓室建模思想一直被广泛应用并不断得到改进和发展.尤其进入七八十年代以后，这方面的研究逐渐成为热点，出现了大量的成果，从而也促进了数学理论流行病学的建立和发展，在文献[1]和其它众多的文献中给出了在多种不同条件下建立的传染病数学模型，这些模型多是在不考虑具有潜伏期或考虑潜伏期但却假定在潜伏期内不具有传染性的情况下建立.而事实上，在现实中许多传染病当被感染后都存在一个潜伏期（即传染后尚未发病之前具有一个潜伏阶段），且在潜伏期内就已经具有了对外的传染性.所以，在建模研究中考虑具有潜伏期的传染病模型具有更实际...

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