混杂系统的生存性与稳定性及应用

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Ⅰ
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪论 ...................................... 1
§1.1 混杂系统 ..................................................... 1
§1.1.1 混杂系统简介 ............................................. 1
§1.1.2 混杂系统的生存性 ......................................... 2
§1.1.3 混杂系统的生存性的研究现状 ............................... 3
§1.2 切换系统 ..................................................... 3
§1.2.1 切换系统描述 ............................................. 3
§1.2.2 切换系统的工作原理 ....................................... 4
§1.2.3 切换系统的稳定性基本问题 ................................. 4
§1.2.4 切换系统稳定性的研究现状 ................................. 5
§1.3 本文研究内容方法和意义 ........................................5
§1.3.1 本文研究的内容 ........................................... 5
§1.3.2 理论与实际意义 ........................................... 6
第二章 预备知识 ....................................7
§2.1 基本概念 ......................................................7
§2.2 基于混杂微分包含的混杂系统 ....................................7
§2.3 切换系统的共同 Lyapunov 函数 ..................................13
第三章 一维混杂控制系统可生存域计算 ......................15
§3.1 引言 ........................................................ 15
§3.2 问题的描述 .................................................. 15
§3.3 主要结果 .................................................... 16
§3.4 应用实例 .................................................... 19
§3.5 本章小结 .................................................... 22
第四章 一类混杂微分包含的可生存性判别 .................... 23
§4.1 引言 ........................................................ 23
§4.2 问题的描述 .................................................. 23
§4.3 主要结果 .................................................... 24
§4.4 应用实例 .................................................... 26
§4.5 本章小节 .................................................... 27
第五章 人口控制的混杂模型研究 ..........................29
§5.1 引言 ........................................................ 29
§5.2 人口混杂模型 ................................................ 29
§5.3 人口模型的控制 .............................................. 30
§5.4 应用实例 .................................................... 32
Ⅱ
§5.5 本章小结 .................................................... 32
第六章 线性系统的共同 Lyapunov 函数的计算 .................. 33
§6.1 引言 .........................................................33
§6.2 问题描述 .................................................... 33
§6.3 共同二次 Lyapunov 函数的存在和计算 ........................... 34
§6.4 应用实例 .................................................... 39
§6.5 本章小节 .................................................... 40
第七章 结束语及未来设想 ..............................41
§7.1 结束语 .......................................................41
§7.2 未来工作设想 .................................................41
参考文献 ........................................43
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .............. 47
致谢 .......................................... 49
第一章 绪 论
1
第一章 绪论
§1.1 混杂系统
§1.1.1 混杂系统简介
通常的控制系统分为两类，也就是连续控制系统和离散控制系统，对于单纯
的连续控制系统和单纯的离散控制系统的研究是比较完整的。在现实世界中，有
大量的控制系统并不是单一的控制系统，而是由不同类型的控制系统相混合而行
成的统一系统，我们称为混杂系统(Hybrid Systems)。由于嵌入系统的大量应用，
近年来混杂控制系统的研究重点在于研究连续控制系统和离散控制系统所组成
的混杂控制系统。混杂控制系统的应用范围极其广泛，包括空中交通控制、自动
控制、生物工程、化学过程控制、高速公路系统和制造业等。目前，混杂系统的
控制问题的研究引起了广泛关注[1~7]。
混杂系统是二十世纪 60 年代由 Witsenhausen 等人提出。两个最早的混杂系
统模型分别由 Witsenhausen[8]在1966 年和 Tavernini[9]在1987 年提出。1991 年在
法国召开了关于混杂系统的国际会议[10]及1992 年在丹麦召开了计算机科学问题
中的混杂系统理论专题研讨会[11]。
1994 年在法国 INRLA 召开 DEDS’
94 的国际
会议中就有关于混杂系统的专题报告[12~16] 。1995 年国际刊物《Theoretical
Computer Science》为混杂系统出版了专辑[17~21]。2000 年，Decarlo 和Branicky [22]
综述了混杂系统的稳定性和镇定问题。2005 年，Lygeros[23]综述了混杂系统并提
出了几个未解决的问题。
关于混杂控制系统的精确定义目前尚未统一给出，往往根据所研究问题的重
点不同而给出不同的模型。混杂系统的建模本身就是研究的一个重要方向，一些
重要的模型有 Hybrid Automata、Impulse Differential Inclusions、General Hybrid
Dynamical System、HIOA 等。
一个比较一般的混杂系统描述为下列动态方程
))(),(),(()( tutptxftx
))(),(),(()( tutptxgty
))(),(),(),(()( ttutptxtp
其中：
n
Rtx )(
是连续状态变量，
},,2,1{)( mtp
表示离散状态变量，
)(tu
是连
续控制输入或某一外部信号。
gf ,
是向量场。
是非连续变换函数。
)(t
是离散
混杂系统的生存性与稳定性及应用
2
输入。
混杂系统的控制问题可以分为三类：
(1)确定的混杂控制问题。
我们假设没有不确定因素，也就是只考虑控制输入。
(2)不确定的混杂控制问题。
在这种情况下，输入分为控制输入和干扰。这类问题往往是归结为鲁棒控制
和对策理论。
(3)随机的混杂控制问题。
我们同样考虑控制输入和干扰，与不确定的控制问题所不同的是我们假设干
扰是服从某一个概率分布的。
§1.1.2 混杂系统的生存性
微分包含（Differential Inclusion）与生存理论(Viability Theory)是近二十年来迅
速发展起来的一个新的应用数学研究领域。微分包含是生存理论的基础，生存理
论有着很多独立的方法和结果。生存理论的主要创始人是法国数学家 Aubin 及其
合作者.通常的微分方程主要用于描述确定的系统，但对于经济系统、生物学及社
会等含不确定因素较多的系统则不一定适合。而微分包含可以描述不确定因素较
多的模型,其数学表达式为：
),( xtFx
，
(1.1.1)
其中
x
是某个线性赋范空间，
F
是一个集值映射。
微分包含问题本质上源于控制理论。考虑具有状态反馈的控制问题
),,( uxtfx
，
)(xUu
(1.1.2)
其中
U
是从状态空间到控制空间的集值映射，它描述了依赖于状态的控制约束。
记
)(
)},,({),( xUu
uxtfxtF
则控制问题可以化成以下的微分包含问题，
),( xtFx
(1.1.3)
如果增加初值约束，则得到模型(1.1.1)。如果
x
是区间
],0[ T
（
0T
）上的绝对连
续函数，且在
],0[ T
上几乎处处满足(1.1.3)式，那么称
x
是(1.1.1)的一个解。
生存理论的应用极其范围，它是利用微分包含来研究不确定系统在各种约束
条件下状态演变的前沿领域。也是研究不确定系统在各种约束条件下状态演变的
数学方法。它采用微分包含的形式描述系统的动态与约束间的联系，利用集值分
第一章 绪 论
3
析研究系统的演变，揭示其潜在的调节反馈，为生物系统、经济系统、社会系统
等领域的宏观演化研究提供了新的方法。生存理论的主要思想是：系统从某一初
始状态开始，在可生存域内变化，当变化到生存域的边缘，有离开生存域的趋势
时，系统处于危机状态。如果系统能够以尽可能慢的方式控制自身的变化方向和
速度，向生存域内变化,则回到可生存的状态。当系统的变化不能够通过控制再指
向生存域内时，系统将离开生存域,趋于瓦解。
对于系统（1.1.1）引进生存约束，设
K
是
X
中的闭集，如果状态位于
K
之外，
则称系统不可生存。称闭集
K
具有可生存性，如果对于任意状态
Kx
0
，（1.1.1）
式至少存在一个取值
],0[ T
上的位于
K
内的解
)(x
，即对
],0[ Tt
，有
Ktx )(
。
2002
年，Aubin 等人把生存理论的概念推广到混杂控制系统，从而给出了混杂系统的生
存性判断[24]。混杂控制系统的生存性判断问题有着重要的现实意义,例如未来智能
高速公路的设计。
§1.1.3 混杂系统的生存性的研究现状
生存理论采用微分包含研究不确定系统在约束条件下的状态演变，为研究不
确定系统带来了新的活力。目前，这一理论在不断完善和发展，其适用范围在不
断加宽，生存理论与最优控制和微分对策的联系愈来愈紧密。同时，其应用研究
也取得很大进步，在控制及其它具体应用方面的研究不断加深，尤其在金融、经
济、管理等方面应用广泛。关于生存性的判断虽然[25]中给出了判断可生存域的充
要条件，但要定量的判断还是相当困难，没有一种可以具体使用的判别可生存性
的方法。目前，针对一些特殊情况利用非光滑分析和凸分析，把判断生存性问题
转化为优化问题，给出了一些有效的判断方法[26~27]。而混杂系统的生存性判断的
研究目前是比较少的。
§1.2 切换系统
§1.2.1 切换系统描述
切换系统(Switched Systems)是混杂控制系统中的一种重要类型,其连续动态由
若干子系统单独运行描述.离散动态指切换策略，决定某一时刻执行哪个子系统。
它控制和协调整个系统的正常运行，通常是一个依赖于时间或状态或其它信号的
分段常值函数。切换系统有着极其广泛的应用背景，目前切换系统的稳定性和镇
定问题引起了广泛的关注[28~35]。
摘要：

Ⅰ目录中文摘要ABSTRACT第一章绪论......................................1§1.1混杂系统.....................................................1§1.1.1混杂系统简介.............................................1§1.1.2混杂系统的生存性.........................................2§1.1.3混杂系统的生存性的研究现状...............................3§1.2切换系统.........

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