带积分边界条件的三阶常微分方程边值问题正解的存在性

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3.0 牛悦 2024-11-19 4 4 428.25KB 37 页 15积分
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第一章 绪论
1
第一章 绪论
常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题，因此它的相关
理论是和微积分理论一起成长起来的，常微分方程是自然学科中表述各种基本规
律的重要工具，现在已经成为数学方法解决实际问题的重要手段之一．它的形成
与发展是和力学、电学和天文学以及其他科学技术的发展密切相关的．数学的其
他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学、泛函分析等，都对其发展产
生了深刻的影响．近些年来，常微分方程的研究与应用，已经深入到自然科学和
社会科学的众多领域，并且已经取得了很多成果．
常微分方程的主要目标在历史上曾被认为是求通解，后来的研究表明能够求
出通解的情况不多，而且在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解，
所以人们把研究重点转移到定解问题上来．根据实际问题的需要，研究常微分方
程满足某种指定条件的解的问题，叫做定解问题．常微分方程边值问题就是一类
重要的定解问题．
常微分方程边值问题在很多学科领域内都有着重要的应用，如自动控制、各
种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应
过程稳定性的研究等．这些问题都可以转化为研究常微分方程边值问题解的性质
的问题．由于常微分方程边值问题的广阔应用背景，近年来受到国内外广大学者
的广泛关注，并取得了大量并且较为系统的结果
[1 7]
．
带积分边界条件的常微分方程边值问题的理论起源于一些应用数学和物理等
领域，比如，热传导、化学化工、地下水流、热弹力和离子体物理等问题都可以
归结为带积分边界条件的非局部问题进行研究．带积分边界条件的边值问题是一
类非常具有研究价值的问题，这类问题的正解存在性和多解性引起了许多学者的
关注
[8 17]
．
文献[18]利用锥上不动点定理并结合 Fredholm 积分理论，研究了带积分边界
条件的二阶常微分方程非线性边值问题
1
0
0
1
1
0
( ) ( , ( )),0 1,
(0) (0) ( ) ( ) ,
(0) (0) ( ) ( )
y t f t y t t
y ay g s y s ds
y by g s y s ds
 
 
 
正解的存在性，其中
:[0,1]f R R 
连续，
0 1
, :[0,1] [0, )g g  
非负连续函数，
,a b
正实数．
文献[19]研究了带积分边界条件的 Sturm-Liouville 型二阶常微分方程非线性边
值问题
带积分边界条件的三阶常微分方程边值问题正解的存在性
2
1
0
1
0
( ) ( ) ( , ( )), 0 1 ,
(0) (0) ( ) ( ) ,
(0) (0) ( ) ( )
u t h t f t u t t
u u a s u s ds
u u b s u s ds
 
 
 
 
 
正解的存在性，其中
，
, [0,1]a b C
正的，
( )h t
在
0,1t
奇异，
([0,1] (0, ),[0, ))f C   
且
( , )f t x
在
0x
奇异．
文献[20]利用锥上不动点定理和迭代理论，研究了带积分边界条件的四阶常微
分方程边值问题
(4)
1
0
1
0
( ) ( ) ( , , ) , (0,1) ,
(1) (1) 0 ,
(0) ( ) ( ) ,
(0) ( ) ( )
x t t f t x x t
x x
x g s x s ds
x h s x s ds
 
 
 
正解的存在性，其中
1
, [0,1]g h L
为非负函数，
([0,1] [0, ) ( ,0],[0, ))f C    
，
在
0t
或
1t
可奇异，并得到了至少一个正解和两个正解存在的充分条件．
三阶常微分方程由于在天文学、流体力学等学科的研究中有着广泛的应用，
因此对于三阶常微分方程边值问题的研究也具有广泛的实际意义．相对于二阶、
四阶常微分方程边值问题的大量研究和系统结果
[21 25]
，三阶常微分方程边值问题
的研究虽不够成熟，但同样已经取得了很多有价值的成果．
文献[26]利用上、下解方法和度理论，讨论了三阶常微分方程三点边值问题
( , , , ) 0, (0, ),
(0) (0) 0, ( ) ( )
x f t x x x t b
x x x b x
 
 
 
 
 
的三个解的存在性，其中
0 1
 
，
0b
 
，
3
:[0, ]f b R R 
连续．
文献[27]利用上下解方法和单调迭代原理，研究了三阶常微分方程三点边值问
题
( ) ( , ( ), ( ), ( )) 0, (0,1),
(0) 0,
(1) (1) 0,
( ) (0) 0
x t f t x t x t x t t
x
x x
x x
 
 
 
 
 
 
解的存在性与唯一性，其中
3
( , )f C I R R 
，
[0,1]I
，
0 1
 
，
1
．这里非
线性项
f
依赖一阶和二阶导数项而不需要满足 Nugumo 条件．
文献[28]利用混合单调方法研究了三阶常微分方程非线性边值问题
第一章 绪论
3
( ) ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0, (0,1),
(0) 0,
(0) (0) 0,
(1) (1) 0
u t q t f u t u t x t t
u
u u
ru u
 
 
 
 
 
 
解的存在性和唯一性，其中常数
0, , , 0,
 
 
满 足
0
  
 
且
((0,1),(0, ))q C 
，更一般地
q
允许在
0t
和(或)
1t
奇异．
目前，对边值问题的研究，已经覆盖了常微分方程、泛函微分方程、脉冲微
分方程和带有拉普拉斯算子的微分方程的两点、三点、多点边值问题．尽管人们
对这些边值问题的研究已经取得了一系列成果
[29 34]
，但对带积分边值问题的理论
研究相对较少的．因此对于这些问题进一步的研究，无论在理论上还是在实际应
用中都有很重要的意义．这就为我们研究带积分边界条件的三阶常微分边值问题
提供了广阔的空间．
文献[35]利用上下解方法和 Leray-Schauder 度理论研究了含积分边界条件的三
阶常微分方程边值问题
2
1
1 1
0
1
20
( ( )) ( , ( ), ( ), ( )) 0, (0,1),
(0) 0,
(0) (0) ( ( )) ,
(1) (1) ( ( ))
u f t x t x t x t t
u
u k u h u s ds
u k u h u s ds
 
 
 
 
 
 
解的存在性，得到了一个正解存在的充分条件，并举例说明其结论，其中
3
([0,1] , )f C R R 
，
:
i
h R R
连续，
0,( 1, 2)
i
k i 
，
( )u
严格单调增且
(0) 0
，
( )R R
，
( , )R  
．
文献[36]基于先验界方法和不动点定理，研究了三阶微分方程边值问题
1
1
0
1
1
0
( ) ( , ( ), ( ), ( )), 0 1,
(0) 0,
(0) (0) ( ( ), ( )) ,
(1) (1) ( ( ), ( ))
y t f t y t y t y t t
y
y ay h y s y s ds
y by h y s y s ds
 
 
 
 
 
 
至少一个正解的存在性，得到了至少一个正解存在的三个充分条件，并举例说明
其结论的应用，其中
3
:[0,1] ,f R R 
2
1 2
, :h h R R
连续．
文献[37]利用不动点指数理论和锥上不动点定理，研究了的三阶微分方程边值
问题
( ) ( , ( )) 0 ,0 1x t f t x t t
 
,
在积分边界条件
带积分边界条件的三阶常微分方程边值问题正解的存在性
4
1
0
(0) (0) 0,
(1) ( ) ( ))
x x
x g t x t dt
 
和
1
0
(1) (0) 0,
(0) ( ) ( ))
x x
x g t x t dt
 
至少一个正解、两个正解存在和正解的不存在性，并给出了正解存在的充分条件
以及举例说明主要结论．
文献[38]利用不动点指数理论研究了一类带积分边界条件的三阶微分方程边
值问题
1
( ) ( ) ( ( )), 0 1,
(0) ( ) 0,
( ) ( )) 0
q
u t g t f u t t
u x p
w t u t dt
 
 
其中
1
2
q p 
，
:[ ,1] [0, )w q  
，在
p
，
q
选取四种不同值的积分边界条件情形下
多个正解的存在性和正解的不存在性，同时给出了正解存在的充分条件并举实例
佐证．
本文共分四章，第一章具体的介绍了文章研究的课题来源，以及研究的相关
内容．第二章给出了在文章中所运用到的定义和定理，方便文章后面的研究．
第三章利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理，研究了含积分边值条件
的三阶微分方程的边值问题
1
0
( ) ( ) ( , ( ), ( )), (0,1),
(0) (0) 0,
(1) ( ) ( )
x t t f t x t x t t
x x
x g s x s ds
 
 
 
正解的存在性，并给出了至少一个正解，两个正解存在和正解不存在的充分条件，
同时利用 Leggett-Williams 不动点定理讨论了三个正解的存在性．
第四章继续利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理并结合积分方程理
论，研究了三阶非线性常微分方程边值问题
1
0
0
1
1
0
( ) ( , ( ), ( )),0 1,
(0) 0,
(0) (0) ( ) ( ) ,
(1) (1) ( ) ( )
x t f t x t x t t
x
x ax g s x s ds
x bx g s x s ds
 
 
 
 
 
 
正解的存在性，其中
:[0,1] [0, ) [0, ) [0, )f    
连续，
0 1
, :[0,1] [0, )g g  
摘要：

第一章绪论1第一章绪论常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题，因此它的相关理论是和微积分理论一起成长起来的，常微分方程是自然学科中表述各种基本规律的重要工具，现在已经成为数学方法解决实际问题的重要手段之一．它的形成与发展是和力学、电学和天文学以及其他科学技术的发展密切相关的．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学、泛函分析等，都对其发展产生了深刻的影响．近些年来，常微分方程的研究与应用，已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且已经取得了很多成果．常微分方程的主要目标在历史上曾被认为是求通解，后来的研究表明能够求出通解的情况不多，而且在实际应用中所需要的多是求满足...

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