具有积分边界条件的常微分方程边值问题正解的存在性

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3.0 牛悦 2024-11-19 4 4 512.19KB 49 页 15积分

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摘要

含有积分边界条件的微分方程边值问题具有广泛应用．近十几年来, 得到了

许多关于解的存在性和唯一性问题的结论．本文借助非线性泛函分析的锥拉伸与

锥压缩不动点定理和双锥不动点定理, 研究了微分方程边值问题正解的存在性.

在非线性项变号与不变号的情况下, 得到了关于积分边值问题正解存在性的一些

有意义的结论.

在第一章中, 介绍了本文研究的基本背景、国内外的研究现状及文章的结构

安排.

在第二章给出了相关基础知识，主要介绍本文将要用到的基本概念和定理，

包括本文中所用的两个关键不动点定理, 给出了我们要用到的非线性二阶常微分

方程边值问题对应的具体的 Green 函数和积分核的求法.

在第三章中, 我们通过构造一个特殊的锥, 利用锥拉伸与锥压缩不动点定理

在适当的条件下讨论了一类带积分边界条件的非局部非线性常微分方程边值问题

正解的存在性, 并给出了正解存在性的充分条件, 在一定程度上扩充了已有的研

究结果.

第四章主要讨论了具有 p-Laplace 算子的积分边值问题

 

( ) ( , ) 0 ,0 1,

(0) (0) ( ),

(1) ( ) ( )

i i

u f t u t

au bu a u

u g s u s ds











   





 















正解的存在性, 其中非线性项

允许变号. 利用双锥不动点定理, 得到了该边值

问题两个正解存在性的充分条件.

本文举了一个例子, 将所得的研究结果应用于某些具体边值问题, 给出了这

一类边值问题正解的存在性的判断方法, 展示了我们的研究结果.

关键词：边值问题锥拉伸与锥压缩不动点定理 p-Laplace 算子

积分边界条件双锥不动点定理正解非局部问题

ABSTRACT

The differential equation with integral boundary conditions applies in variety of

applied mathematics. In recent ten years, the existence and uniqueness of solutions

for the boundary value problems have been investigated and many conclusions

have been obtained. In this paper, by using the fixed-point theorem in cone and the

fixed point theorem in double cones in nonlinear function analysis, we study the

existence of positive solutions for the boundary value problems with integral

boundary conditions and varity of other boundary conditions. Moreover, we obtain

some important conclusions when the nonlinear term is allowed to change sign or

not.

In Chapter one, we introduce some backgrounds and researches in domestic

and overseas. The arrangements of our paper have also been given.

For convenience, in Chapter two, we give some basic notions and theorems,

which include two important theorems that will be used in our paper. Meanwhile,

we give the method of solving the Green function and integral kernel about second

order boundary value problem with integral boundary condition.

In Chapter three, we investigate the existence of positive solutions for a class

of boundary value problems with integral boundary condition by using the

fixed-point theorem on a special cone under some suitable conditions. The

sufficient conditions are also obtained. So we extend the results which have been

investigated to some degree.

In Chapter four, we discuss the existence of positive solutions for p-Laplacian

boundary value problem with integral boundary condition as follows

 

( ) ( , ) 0 ,0 1,

(0) (0) ( ),

(1) ( ) ( ) ,

i i

u f t u t

au bu a u

u g s u s ds











   





 















where nonlinear term

is allowed to change-signing. The sufficient conditions

of two positive solutions for such boundary value problem are obtained by using

the fixed point theorem in double cones.

At last, we give an example to illustrate how the results we study can be used

in practice and give some criteria for the existence of positive solutions for a class

of boundary value problems.

Key Words：boundary value problem, integral boundary conditions,

positive solution, nonlocal boundary problems, fixed-point theorem

in cone, p-Laplacian, fixed point theorem in double cones

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论................................................................................................................. 1

§ 1.1 历史背景及研究现状......................................................................................... 1

§ 1.2 本文主要研究内容及结构................................................................................. 7

第二章预备知识............................................................................................................. 9

§ 2.1 基本定义和定理............................................................................................... 9

§ 2.2 积分边值问题中的 Green 函数........................................................................11

第三章一类带积分边界二阶非线性常微分方程非局部问题正解的存在性........... 15

§ 3.1 基本引理........................................................................................................... 15

§ 3.2 正解的存在性................................................................................................... 21

§ 3.3 例....................................................................................................................... 24

第四章具有变号非线性项的积分边值问题两个正解的存在性............................... 25

§ 4.1 解的性态........................................................................................................... 25

§ 4.2 解与算子的不动点........................................................................................... 32

§ 4.3 非线性项变号的两个正解的存在性............................................................... 35

参考文献......................................................................................................................... 42

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果............................................. 46

致谢........................................................................................................................... 47

第一章绪论

文献[1]指出,给定一个常微分方程

( ) ( 1)

( , , , , ),

n n

x f t x x x 





(1.0.1)

其中

f I R R 

,当需要寻求满足特定条件

( ) 0U x 

(1.0.2)

的解时,就得到常微分方程定解问题,其中

: ( )

U C I R



与

及

的直到

1n

阶导数在

的某些给定点上的取值有关,值域在

之中.式(1.0.2)称为方程

(1.0.1)的定解条件.依据定解条件的不同,可分为不同的定解问题.当条件(1.0.2)

仅对解

( )x x t

及其直至

1n

阶导数在某一点

t t

处的取值或这些取值间的相

互联系加以限定时,就是初值问题;当对解

及相关导数在自变量

的至少两个

点处的值进行限定时,就是边值问题.

阶常微分方程(1.0.1)的定解条件通常由

个方程构成.例如

( , , ),

(0) (0) 0

x f t x x

x x

 







 



是一个初值问题,而

( , , ),

(0) (1) 0

x f t x x

x x

 





 



则是一个边值问题.

常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉,它是常微分

方程学科的重要组成部分之一.下面将对微分方程边值问题的有关情况进行简单

的介绍,更多关于边值问题研究工作的见文献[1].

§ 1.1 历史背景及研究现状

20 世纪以来,泛函分析逐步成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础.

而非线性泛函分析则是现代数学中一个既有深刻理论意义,又有广泛应用价值的

研究方向,它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景,建立处理

许多非线性问题的若干一般性理论和方法.它的研究成果可以广泛地应用于各种

非线性微分方程、积分方程和其他各种类型的方程以及计算数学、控制理论、最

优化理论、动力系统、经济数学等许多领域.目前非线性泛函分析主要内容包括

拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调型映射理论等[2].郭大钧教

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摘要：

摘要含有积分边界条件的微分方程边值问题具有广泛应用．近十几年来,得到了许多关于解的存在性和唯一性问题的结论．本文借助非线性泛函分析的锥拉伸与锥压缩不动点定理和双锥不动点定理,研究了微分方程边值问题正解的存在性.在非线性项变号与不变号的情况下,得到了关于积分边值问题正解存在性的一些有意义的结论.在第一章中,介绍了本文研究的基本背景、国内外的研究现状及文章的结构安排.在第二章给出了相关基础知识，主要介绍本文将要用到的基本概念和定理，包括本文中所用的两个关键不动点定理,给出了我们要用到的非线性二阶常微分方程边值问题对应的具体的Green函数和积分核的求法.在第三章中,我们通过构造一个特殊的锥,利用锥...

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