【沪教版数学9年级上】 习题试卷-25.8解直角三角形的应用几何问题大题专练上海30题（重难点培优）（解析版）【沪教版】

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 247.17KB 36 页 5积分
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2021-2022 学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 25.8 解直角三角形的应用几何问题大题专练上海 30 题（重难点培
优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共 30 小题）
1．（2020 秋•金山区期末）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tanBsinA+|1﹣
cosB|
+tanA
4 tan230 °
的值．
【分析】根据勾股定理求得 AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．
【解析】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴
AB=
√
A C2+B C2=
√
32+42=5
，
∴
tanB=AC
BC =3
4
；
sinA=BC
AB =4
5
；
cosB=BC
AB =4
5
；
tanA=BC
AC =4
3
，
∴原式
¿3
4
×4
5+¿1−4
5∨
+4
3
4×(
√
3
3)
2=4
5+1=9
5
．
2．（2020 秋•嘉定区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，sinB
．
（1）求边 BC 的长度；
（2）求 cosA的值．
【分析】（1）如图，过点 A作AD⊥BC 于点 D，根据等腰三角形的性质得到 BC＝2BD，即可得到结论；
（2）如图，过 B作BH⊥AC 于H，根据三角形的面积公式所示 BH
¿CB ⋅AD
AC =12 ×8
10 =48
5
，根据三角
函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）如图，过点 A作AD⊥BC 于点 D，
∵AB＝AC＝10，
∴BC＝2BD，
在Rt△ABD 中，∵sinB
¿AD
AB
，
∴AD＝ABsinB＝10
×4
5=¿
8，
∴BD
¿
√
A B2− A D2=
√
1 02−82=¿
6，
则BC＝2BD＝12；
（2）如图，过 B作BH⊥AC 于H，
∵S△ABC
¿1
2
AC•BH
¿1
2
BC•AD，
∴BH
¿CB ⋅AD
AC =12 ×8
10 =48
5
，
∴AH
¿
√
A B2− B H 2=
√
1 02−¿¿
，
cos∴ ∠BAC
¿AH
AB =
14
5
10 =7
25
．
3．（2020 秋•松江区期末）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin∠ABC
¿3
5
，点 D在边 BC 上，BD＝
4，联结 AD，tan∠DAC
¿2
3
．
（1）求边 AC 的长；
（2）求 cot∠BAD 的值．
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得 AC 的长；
（2）根据（1）中的结果，可以得到 AC、CD 的长，然后根据勾股定理可以得到 AD 的长，再根据等面
积法可以求得 DE 的长，从而可以求得 AE 的长，然后即可得到 cot∠BAD 的值．
【解析】（1）设 AC＝3x，
∵∠C＝90°，sin∠ABC
¿3
5
，
∴AB＝5x，BC＝4x，
tan∵ ∠DAC
¿2
3
，
∴CD＝2x，
∵BD＝4，BC＝CD+BD，
4∴x＝2x+4，
解得 x＝2，
∴AC＝3x＝6；
（2）作 DE⊥AB 于点 E，
由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，
∵
AB ⋅DE
2=BD ⋅AC
2
，
∴
10× DE
2=4×6
2
，
解得 DE
¿12
5
，
∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，
∴AD
¿
√
62+42=¿
2
√
13
，
∴AE
¿
√
A D2− D E2=
√
¿¿
，
cot∴ ∠BAD
¿AE
DE =
34
5
12
5
=17
6
，
即cot∠BAD 的值是
17
6
．
4．（2020 秋•浦东新区期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点 D，BC＝18，AD＝6．
（1）求 sinB的值；
（2）点 E在AB 上，且 BE＝2AE，过 E作EF⊥BC，垂足为点 F，求 DE 的长．
【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出 BD，然后在 Rt△ABD 中，利用勾股定理求出
AB，再根据 sinB
¿AD
AB
计算即可；
（2）由 EF∥AD，BE＝2AE，可得
BE
AB =EF
AD =BF
BD =2
3
，求出 EF、DF，再利用勾股定理解决问题．
【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC
¿1
2
BC＝9，
∴AB
¿
√
A D2+B D2=
√
62+92=¿
3
√
13
，
sin∴B
¿AD
AB =6
3
√
13 =2
√
13
13
；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
摘要：

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.8解直角三角形的应用几何问题大题专练上海30题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020秋•金山区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tanBsinA+|1﹣cosB|+tanA4tan230°的值．【分析】根据勾股定理求得...

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