上证综指的小波分析

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3.0 刘畅 2024-11-07 6 4 1.56MB 55 页 15积分

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摘要

小波分析由于能实现时域和频率的局域变换，同时能有效地从信号中提取信

息，并通过伸缩平移等对信号进行多分辨分析，被誉为“数学显微镜”。正是由

于小波分析的独特优点，小波分析已经广泛地应用于信号处理、图像处理、地震

勘探、生物工程、数据处理、人工智能等多个领域，取得了显著的成果，且被认

为是近些年来分析方法上的重大突破。近来，小波分析受到经济学家们的青睐，

开始进入经济金融领域，学者们试图通过小波分析提取出经济金融数据包含的有

效信息，从而实现对某些经济金融现象的量化分析与预测。

在对小波小波降噪可行性的研究上，本文分别采用硬阈值降噪法和软阈值降

噪法，结果表明小波降噪效果显著。在此基础上，对具有一定趋势性的上证综指

收盘价序列做预测。分别建立经典的时间序列模型 ARIMA 和小波 ARMA 模型，

并将二者的拟合及预测结果作比较，结果表明：在上证指数收盘价序列预测分析

中，小波 ARMA 模型相比经典的 ARIMA 模型，其拟合和预测精度都优于后者。

在研究上证综指每隔 5分钟的收益率序列时发现小波分析能很好地消除高频收

益率序列的 “日历效应”；在这个理论实证背景下，本文将小波分析用于金融高

频数据，同时结合经典时间序列模型 ARMA，对高频数据进行预测；结果表明预

测更准确，证明小波分析在高频数据预测方面的可行性。

本文将小波分析与经典时间序列模型结合起来，进一步丰富了时间序列分析

方法；同时针对高频数据的“日历效应”提出了比较创新可行的消除方法，具有

一定的可操作性。

关键词：小波分析 Mallat 算法多分辨分析时间序列

ABSTRACT

Wavelet analysis, which has good multi-resolution analysis function can expand

contract or translate time-frequency window automatically to analyze the signal,

meanwhile extract useful information, is known as “mathematical microscope”. Due

to its unique advantage, wavelet analysis has been widely used in many fields, such as

signal processing, image processing, earthquake prospecting, bioengineering, data

processing, artificial intelligence etc, which achieved remarkable results, and had been

considered as great breakthrough in recent years. Lately, wavelet analysis has draw

attention to economists, more and more scholars begun to introduce it into economy

and finance field. They try to extract valid information from financial time series so as

to analyze some economic and financial phenomenon and do some predictions.

In the research on the feasibility of wavelet denoising, we adopt the hard

threshold value signal denoising and the soft threshold value signal denoising, the

result shows the wavelet denoising is feasible. On this background, we forecast the

Shanghai Composite Index which consists of certain trend. Build classical time series

model ARIMA first, then wavelet-based ARMA, do the forecasting, make a

comparison between the two results. The comparison shows that the wavelet-based

time series model ARMA is more fitting and accurate than ARIMA model. The study

found that wavelet analysis can effectively eliminate the “Calendar Effect” of

high-frequency financial data. Meanwhile, we make a combination between wavelet

analysis and classical time series model ARMA, and do forecast. The result of this

kind of method for forecast is more precisely, and the forecasting of high-frequency

data based on wavelet analysis is feasible.

In this paper, the combination of classical time series analysis with wavelet

analysis has enrich the time series theory. Meanwhile, a feasible method is created to

eliminate the “Calendar Effect” high-frequency financial data.

Key Words: Wavelet Analysis, Mallat Algorithm, Multi-resolution

Analysis, Time Series

摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ....................................................................................................... 1

1.1 研究背景 ...................................................................................................... 1

1.2 国内外研究现状 .......................................................................................... 2

1.2.1 小波降噪的研究现状 ......................................................................... 2

1.2.2 小波分析在时间序列分析理论的研究现状 ...................................... 3

1.3 研究内容和方法 .......................................................................................... 4

1.3.1 研究内容 ............................................................................................ 4

1.3.2 研究方法 ............................................................................................ 4

1.4 本文的创新点及不足 ................................................................................... 5

第二章小波分析理论 ................................................................................................6

2.1 小波分析理论的发展史 .............................................................................. 6

2.2 傅里叶分析理论 .......................................................................................... 6

2.3 小波分析理论 .............................................................................................. 8

2.3.1 连续小波变换 ..................................................................................... 8

2.3.2 离散小波变换 ..................................................................................... 9

2.3.3 多分辨分析 ...................................................................................... 10

2.3.4 极大重叠离散小波变换 ................................................................... 12

2.4Mallat 算法.................................................................................................. 13

2.4.1Mallat 分解算法的实现 ..................................................................... 13

2.4.2Mallat 算法重构算法的实现 ............................................................. 14

第三章时间序列分析理论 ..................................................................................... 15

3.1 时间序列的预处理 .................................................................................... 15

3.1.1 平稳性的定义 ................................................................................... 15

3.1.2 平稳性检验 ...................................................................................... 15

3.2 平稳时间序列模型 .................................................................................... 16

3.2.1 自回归模型 ...................................................................................... 17

3.2.2 移动平均模型 ................................................................................... 18

3.2.3 自回归移动平均模型 ....................................................................... 18

3.2.4 平稳时间序列模型的识别与定阶 .................................................... 19

3.3 异方差时间序列模型 ................................................................................. 21

3.3.1 异方差检验 ...................................................................................... 22

3.3.2ARCH 模型 ....................................................................................... 23

3.3.3GARCH 模型..................................................................................... 23

第四章小波降噪的应用分析 .................................................................................. 26

4.1 小波分析的降噪 ........................................................................................ 26

4.1.1 时间序列降噪方法的发展 ............................................................... 26

4.1.2 基于小波分析的降噪方法的实现 ................................................... 26

4.2 小波降噪的实证研究 ................................................................................. 29

4.2.1 小波分解过程 .................................................................................. 29

4.2.2 阈值作用过程 .................................................................................. 30

4.3 时间序列预测中的小波降噪 ..................................................................... 31

4.3.1ARIMA 模型 ..................................................................................... 31

4.3.2 小波 ARMA 模型 ............................................................................. 32

4.4 模型预测效果的评价标准 ......................................................................... 33

4.5 股票数据的预测 ........................................................................................ 33

4.5.1ARIMA 模型预测 ............................................................................. 33

4.5.2 小波 ARMA 模型预测 ..................................................................... 34

4.5.3 ARIMA 模型与小波 ARMA 模型预测结果比较 ............................. 35

4.6 本章小结 .................................................................................................... 36

第五章小波分析在高频收益率序列预测分析中的应用 ....................................... 37

5.1 上证综指收益率序列的“日历效应” ...................................................... 37

5.2“日历效应”的多分辨分析 ...................................................................... 39

5.3 基于小波分析的高频收益率序列的预测 .................................................. 41

5.3.1 高频数据的小波分解与重构............................................................ 41

5.3.2 分解重构后的模型及评价标准 ........................................................ 42

5.3.3 预测过程 .......................................................................................... 42

5.3.4 模型预测结果 ................................................................................... 43

5.4 本章小结 .................................................................................................... 48

参考文献 ................................................................................................................ 49

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ....................................... 52

致谢 .................................................................................................................... 53

第一章绪论

1.1 研究背景

中国改革开放后，社会经济得到快速发展，随之带来的是人们手中可以用来

投资的资金也越来越多，这就为中国股票市场的繁荣发展提供了有利的前提条件。

自上世纪八十年代以来，中国的经济法律体系越来越健全，市场体制也不断完善，

这进一步促使股票市场成为中国社会经济生活中的一个十分重要的组成部分。然

后，任何一个事物都是一把双刃剑，股票市场的健康蓬勃发展一方面能够有效吸

引社会的闲散资金，实现社会资源的合理分配，进一步推动社会经济的快速和稳

健发展；另一方面，若是股票市场的发展得不到有效的监管，它的混乱就会给社

会经济的发展带来不利影响。正是其表现出来的敏感性，股票市场一直以来都被

称为是经济发展的“晴雨表”，它的发展以实体经济为支撑并且能较真实地体现社

会大众对实体经济发展的预期，并且它通过价格机制也部分实现了对市场资源的

合理配置。股票价格分为两种，一个是理论价格，一个是市场价格，两者大部分

时候并不相等。而在股票市场中股票持有者大都比较关心股票的市场价格，因为

该价格是体现某个特定时刻股票市场中所有股票持有者对股票价值的均衡定位，

因此大部分经济学家都十分关注对股票价格特点，而股票价格趋势的预测则成为

投资股票市场的必备。正是基于这种实际需求，包含股票价格在内的一系列经济

金融时间序列的特性研究就成为了金融股票市场领域一直经久不衰的课题。

早期的经济学家大多数以直觉来考虑股票市场价格的变化轨迹，但随着统计

学、数理经济学、计量经济学等学科理论知识地快速发展，以及各种分析软件的

应用推广，对经济金融时间序列的研究有了质的飞跃。在实际研究中，时间序列

通常表现出很强的非平稳性和长记忆性。而经典时间序列分析方法在大多数情况

下仅在时域或是频域上分析时间序列的特征，这样就增加了对其特性刻画的难度，

而在此特点分析的基础上建立的时间序列模型其在做预测时偏差会较大，影响预

测精度。因此，经济学家萌发了能同时在频域和时域上分析时间序列的方法，这

也正是时-频分析法产生的源头。现阶段时-频分析方法主要有 Wigner 分布和小波

分析两种。Wigner 分布在处理信号时，其在分析多分量信号过程中，一直伴随着

一个多余的交叉项，该交叉项不仅影响原始信号特征的提取，而且会造成计算量

的大幅度增加，因此在实际操作中适用性不大。小波分析由于能实现时间和频率

的局域变换，同时能有效地从信号中提取信息，并通过伸缩平移等对信号进行多

分辨分析，被誉为“数学显微镜”。正是由于小波分析的独特优点，小波分析已经

上证综指的小波分析

广泛地应用于信号处理、图像处理、地震勘探、生物工程、数据处理、人工智能

等多个领域，取得了显著的成果，且被认为是近些年来分析方法上的重大突破。

小波分析是近年来新兴的一个数学分支，其集合了傅里叶变换、泛函分析、

样条插值分析、数值分析等多种分析方法的优点，已成功在经济金融领域得到广

泛运用。目前，小波分析对经济金融时间序列的应用主要有以下几个方面：

⑴小波分析在时间序列降噪方面的应用。其主要原理是：将原始时间序列看

作含噪信号，利用小波分析的多分辨分析功能，通过分解、作用阈值和重构三个

步骤，实现降噪，其目的是得到更能反映真实市场情况的金融时间序列。

⑵非平稳时间序列特征分析及拟合[1]。由于小波分析具有强大的时-频分析功

能，其能将一维的时域或是频域信号映射到一个二维的时-频平面，从而实现全面

反映非平稳时间序列的时-频联合特征的目的。

⑶时间序列分析中奇异点的定位。由于小波分析对信号突变点比较敏感，因

此常用来检测奇异点，并且对该变点进行定位。

⑷对金融高频时间序列数据进行探测和分析[2]。所谓金融高频数据是指在细小

的时间间隔上抽取的观测值，通常来说，金融市场上的信息是连续地影响证券市

场价格运动过程的，而数据离散地取值必然会造成部分信息的缺失，也即是说采

集的数据频率愈高，信息丢失愈少；反之，信息丢失愈多。

正是在小波分析越来越广泛地运用于时间序列分析的背景下，本文想进一步

研究小波方法在时间序列分析领域的可行性。通过实证分析来比较小波降噪的优

势、以及在时间序列分析建模中小波分析的适用性。

1.2 国内外研究现状

1.2.1 小波降噪的研究现状

在股票市场中存在诸多不确定因素，这些因素的出现干扰时间序列，从而产

生噪声，而噪声的出现会影响人们对真实市场的判断，同时也会影响研究者对时

间序列趋势特征的识别以及序列中有用信息地准确提取。因此，在对序列数据进

行分析时对其降噪是一个关键的步骤。移动平均法[3]是最经典的时间序列降噪法，

该方法操作简单，但是容易忽视有用信息。而卡尔曼滤波方法[4]、传统滤波方法和

维纳滤波方法等则是目前比较常用的降噪方法。但是这些降噪方法都有一个缺点，

那就是它们都假设信号是光滑的，而噪声信号是不平滑的，因此这些方法降噪的

原理是平滑处理噪声部分，以实现降噪。因此这些方法在时间序列分析的应用中

就存在一些弊端，因为大多数的金融时间序列本身并不是光滑的，所以这些传统

降噪方法在降噪时很容易将有用信息当成是噪声，通过平滑处理而消失，更有甚

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摘要小波分析由于能实现时域和频率的局域变换，同时能有效地从信号中提取信息，并通过伸缩平移等对信号进行多分辨分析，被誉为“数学显微镜”。正是由于小波分析的独特优点，小波分析已经广泛地应用于信号处理、图像处理、地震勘探、生物工程、数据处理、人工智能等多个领域，取得了显著的成果，且被认为是近些年来分析方法上的重大突破。近来，小波分析受到经济学家们的青睐，开始进入经济金融领域，学者们试图通过小波分析提取出经济金融数据包含的有效信息，从而实现对某些经济金融现象的量化分析与预测。在对小波小波降噪可行性的研究上，本文分别采用硬阈值降噪法和软阈值降噪法，结果表明小波降噪效果显著。在此基础上，对具有一定趋势性的...

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