投资组合的极大极小方法及摩擦市场下的多期均值-方差模型的研究

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3.0 陈辉 2024-11-19 4 4 610.11KB 54 页 15积分

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摘要

现代投资组合理论起源于 20 世纪 50 年代的西方发达国家，其本质内容是关

于风险的准确度量和对风险资产的定价.经过五十多年的发展，在投资组合领域，

许多专家学者做了大量的工作，一系列的新的风险度量模型和优化算法被提了出

来.但是，准确的刻画风险并找到最优投资策略不是一件容易的事情，而这正是促

进投资组合理论发展的不竭动力.

本文针对均值方差模型和极大极小投资组合原理进行了深入的探讨，得到了

一些有意义的结果：

首先，简要概述了投资组合理论研究现状，概要的给出了目前常见的几个模

型和风险度量函数，介绍了投资组合领域的基本概念和数学概念.

然后，基于多阶段均值方差模型，考虑了包括交易费、税收等摩擦因素的市

场，采用逆序动态规划，以终端财富最大化为目标，给出了摩擦市场下多期证券

投资组合的均值方差模型的解析解和有效前沿，并进行了实证分析.

再次，基于极大极小投资组合原则，建立了一种新的极大极小投资组合模型，

应用非光滑分析知识，主要讨论了该模型的方程组转化方法，并找到了相关算法

来求解该方程组.同时还研究了有交易费用的极大极小投资组合，使其最终转化为

线性规划，并证明了模型的等价性.

最后对本文的工作进行了系统的总结，并对未来投资组合理论的发展前景进

行了展望.

关键词：多阶段投资组合均值方差极大极小动态规划非光滑分析

ABSTRACT

Modern portfolio theory originated in the western developed country in the1950s,

the essence of portfolio theory is about the accurate measurement of risk and pricing of

risk asset. After fifty years’ development, many experts and scholars have made a lot of

contributions in portfolio field. A serial of new risk measurement models and

optimization algorithms were proposed. However, it is not easy to accurately depict the

risk and find the optimal investment strategy; which just promotes the development of

portfolio.

In this dissertation, we focus on mean-variance model and minimax principle,

moreover we get some significative results.

Firstly, we introduce the research status, summarize several familiar models and

risk function, and introduce the basic concept in portfolio and mathematical field.

Secondly, based on multiperiod mean-variance model, considering the frictional

factor such as transaction cost, tax and so on, adopting reverse dynamic programming,

targeting with maximization the terminal wealth, we obtain analytical expression and

efficient frontier of the multiperiod mean-variance model in frictional market and

conduct empirical analysis.

Thirdly, based on minimax portfolio principle, we establish a new minimax model,

using nonsmooth analytical knowledge, mainly discuss equation set transaction method

of this model, algorithms solving this equation set is also introduced. Minimax portfolio

model with transaction cost is studied too. After some alteration, we transform the

model into a linear programming and prove the equivalence of the models.

At last, a brief review of this dissertation is given, and then some future research

fields are proposed.

Key Word: multiperiod portfolio, mean-variance, minimax, dynamic

programming, nonsmooth analysis

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 .......................................................... 1

§1.1 引言 ..........................................................1

§1.2 研究概况 ..................................................... 2

8§1.3 投资组合的几种主要模型 ...................................... 4

§1.3.1 Markowitz 的均值-方差模型 ................................. 4

§1.3.2 极大极小模型 ............................................. 6

§1.3.3 具有交易费用的 MAD 模型 ................................... 7

§1.3.4 对数效用模型 ............................................. 8

§1.3.5 多期证券组合模型 ......................................... 9

§1.4 本文的研究内容和主要结果 .................................... 10

第二章基础知识 ..................................................... 11

§2.1 投资组合风险度量方法的类型 ...................................11

§2.2 投资组合的基本术语 .......................................... 14

§2.3 数学工具介绍 ................................................ 18

§2.3.1 逆序动态规划 ............................................. 18

§2.3.2 非光滑优化介绍 ........................................... 20

§2.4 小结 ........................................................ 22

第三章摩擦市场下多期证券投资组合的均值-方差模型 .................... 23

§3.1 引言 ........................................................ 23

§3.2 摩擦市场多阶段投资组合的均值-方差模型 ........................23

§3.2.1 模型的建立 .............................................. 23

§3.2.2 模型的求解 .............................................. 26

§3.2.3 实证分析 ................................................ 32

§3.3 小结 ........................................................ 33

第四章投资组合选择极大极小方法 ..................................... 34

§4.1 投资组合极大极小模型的方程组法 .............................. 34

§4.1.1 引言 .................................................... 34

§4.1.2 模型建立和转化 ........................................... 34

§4.1.3 模型的求解方法 .......................................... 38

§4.2 有交易费的极大极小模型的优化方法 ............................ 40

§4.3 小结 ........................................................ 43

第五章结论与展望 ................................................... 44

§5.1 本文的主要结论 .............................................. 44

§5.2 研究展望 .................................................... 44

参考文献 ............................................................ 47

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ...................... 51

致谢 ................................................................ 52

第一章绪论

- 1 -

第一章绪论

§1.1 引言

1990 年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了马科维茨（H. Markowitz）

夏普（W.F.Sharpe）和米勒（W.Miller）以表彰他们在投资组合和证券市场理论上

的贡献.投资组合就是由投资人或金融机构所持有的股票、债券、衍生金融产品等

组成的集合，它是现代金融学和现代投资理论的重要研究领域，也是风险管理的

重要手段和技术，投资组合的目的在于分散风险.现代投资组合理论假定投资者为

规避风险（Risk Averse）的投资者.一个理性投资者会在几个拥有相同预期回报

的投资组合中间选择其中风险最小的那一个投资组合.另一种情况是如果几个投

资组合拥有相同的投资风险，投资者会选择预期回报最高的那一个.这样得到的投

资组合被称为最佳投资组合（Efficient Portfolio）.

1952 年Markowitz 提出的均值-方差（MV 模型）投资组合选择模型奠定了现

代投资理论的基础，他又于 1959 年出版了论著 Portfolio Selection: Efficient

Diversification of Investments，阐述了证券收益和风险分析的主要思想和方法.而此

前，人们对投资的分析和理解只停留在感性阶段，从此以后投资组合理论迅猛发

展，人们对投资的分析也由感性理解上升到理性量化分析阶段.风险的分散化原理

被认为是现代金融学中唯一“免费的午餐”，将多项风险资产组合到一起，可以对

冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率，这是 Markowitz 的主要贡献.马科维茨

投资组合的均值-方差理论的基本思想是假设投资者都是风险厌恶的，将资产的收

益（率）看成是随机变量，用收益（率）的期望（均值）度量投资者的收益，用

收益（率）的方差度量投资的风险.但是 MV 模型也存在着一些不足：如 MV 模型

运算量大,不便于实际操作；应用 MV 模型对证券收益率分布的要求有很大的局限

性；这一模型不能全面描述投资者心理；该模型研究的是完美市场，而实际上市

场上存在多种摩擦；该理论研究的是一个静态的、单阶段的决策问题，而实际的

投资过程大都是动态的或多阶段的等.在此以后的学者比较全面的考虑了投资者进

行投资组合选择所涉及的各个要素及环境情况，包括了风险资产和无风险资产的

各种情形，投资比例（数量）限制的各种情形，交易费用情况，各类投资者的风

险偏好情况等投资约束，不仅有静态的组合选择问题，还有动态的调整问题，不

仅有随机不确定问题，还有模糊不确定问题.

现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）归结了理性投资者如何利用分

散投资来优化他们的投资组合.在进行投资分析时，需要考虑以下几个问题：一是

可投资的资产范围.投资者进行投资，首要解决的问题是筛选出可供投资的资产范

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围．因为金融市场中存在大量的资产，如果不事先确定一个资产范围，直接对所

有资产进行配置研究，不仅会降低投资效率，而且会降低投资效果，风险较大.二

是投资者的个人偏好.投资者的偏好直接决定投资组合的目标函数形式和约束条

件，例如保守投资者的极大极小模型；或者投资者倾向于集中投资，则可约定配

置的资产数目小于一个期望数值.三是市场情形.市场情形对投资策略的影响主要

体现在约束条件上，比如交易制度（例如限制卖空或者允许卖空）的限制和摩擦

因素（如交易成本和税收等）的影响等.

目前投资组合的研究主要围绕下面三个问题展开：一是提出不确定环境下预

测资产收益及度量风险的方法，二是建立适合不同类型投资者要求和满足各种投

资环境约束的投资组合选择模型，三是提出最优投资组合选择的有效算法，解决

实际问题.

§1.2 研究概况

自20 世纪 60 年代以来，许多学者都在马科维茨的理论和方法基础上开展了

投资组合理论的研究工作，并取得了一系列的成果.Sharpe[1~3], Merton[4], Tobin[5]等

在一定的假设条件下，得到了部分情况下有效投资组合的解析表示或者给出了有

效前沿的数值方法，但是在一般投资约束条件下，如不允许卖空或者限制投资数

量等情形下获得收益相关资产的全部有效投资组合（有效前沿）的解析表示却非

常困难.由于马科维茨均值-方差模型把高于均值的超额收益当成风险来处理，许多

学者进行了改进：按照新的风险度量标准建立了新的投资准则下的投资组合模型，

更确切的刻画风险的下半方差模型(Lower Semivariance), Mao[6]等讨论了均值-下半

方差模型，Konno 和Yamakazi[7~8],Feinstein 和Thapa[9]研究了绝对离差来衡量投资

组合的风险，提出了基于均值-绝对离差的证券投资组合模型（MAD 模型）,简化

了投资组合的运算，并且 Konno 和Yamakazi 还将其研究成果应用于东京股票市场，

并与 MV 证券组合理论进行比较，Speranaza[10]提出了半绝对偏差风险函数，

Young[11]用极大极小规则建立了一个投资组合选择的线性规划模型，该模型实际上

是以投资组合的最小顺序统计量作为风险度量.Cai[12]等用投资组合各项资产中的

最大期望绝对偏差来刻画风险，也给出了一个投资组合选择的线性规划模型，同

时也给出了解析的投资组合策略.Jean 和Helms[13]Brennan 和Schwartz[14]等研究了最

大化几何平均收益准则下的投资组合问题等.Konno 和Suzuki[15]给出了均值-方差-

偏度模型,这种模型在收益分布不对称的情况下是非常有价值的,因为具有相同的

均值和方差的投资组合很有可能具有不同的偏度,而偏度大的投资组合获得较大收

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摘要：

1摘要现代投资组合理论起源于20世纪50年代的西方发达国家，其本质内容是关于风险的准确度量和对风险资产的定价.经过五十多年的发展，在投资组合领域，许多专家学者做了大量的工作，一系列的新的风险度量模型和优化算法被提了出来.但是，准确的刻画风险并找到最优投资策略不是一件容易的事情，而这正是促进投资组合理论发展的不竭动力.本文针对均值方差模型和极大极小投资组合原理进行了深入的探讨，得到了一些有意义的结果：首先，简要概述了投资组合理论研究现状，概要的给出了目前常见的几个模型和风险度量函数，介绍了投资组合领域的基本概念和数学概念.然后，基于多阶段均值方差模型，考虑了包括交易费、税收等摩擦因素的市场，采用...

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