【沪教版数学9年级上】 习题试卷-08二次函数综合压轴题专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 3.62MB 123 页 5积分
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专题 08 二次函数综合压轴题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ，点 是
该抛物线上一点，且在第四象限内，连接 ．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当 时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点 E是x轴上一点，点 F是抛物线上一点，当以点
为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 E的坐标．
【来源】专题 19 二次函数（二）（考点专练）-备战 2021 年中考数学考点微专题（上
海专用）
【答案】（1） ，对称轴为直线 ； （2） ；（3）点
的坐标为 或 或 或 ．
【分析】
（1）根据点 A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；
（2）连接 OD，求出 C点坐标，根据 A、B、C点坐标求出 ，设
，根据 ，列出关于
x的方程，解方程即可求出 D点坐标；
（3）分两种情形：如图 2中，当 AE 为平行四边形的边时，根据 DF＝AE＝1，求解即
可．如图 3中，当 AE，DF 是平行四边形的对角线时，根据点 F的纵坐标为 6，求出点
F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．
【详解】
（1）∵ 经过点 ， ，
，
，
∴抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为直线 ．
（2）连接 ，
∵抛物线 经过点 ，
，
，
，
又 ，
， ，
，
，
设 ，
∵点 在第四象限，
，
，
，
，
，
．
（3）如图 2中，当 AE 为平行四边形的边时，
∵DF∥AE，D(2,-6)，
∴F(1,-6)，
∴DF=1，
∴AE=1，
∴E(0,0)，或 E′(-2,0)．
如图 3中，当 AE，DF 是平行四边形的对角线时，
∵点D与点 F到x轴的距离相等，
∴点F的纵坐标为 6，
当y=6 时，6=x2-3x-4，
解得 x=-2 或5，
∴F(-2,6)或(5,6)，
设E(n,0)，则有 或 ，
解得 n=1 或8，
∴E(1,0)或(8,0)，
综上所述，满足条件的点 E的坐标为(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形的
面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想
思考问题，属于中考压轴题．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋1与y轴交于点 A，顶点 B
的坐标为(2，－1)．
（1）直接写出点 A的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点 C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线 AC 与抛物线的另一个交点为 D．
①求点 C、D的坐标；
②将抛物线 y＝ax2＋bx＋1沿着射线 BD 的方向平移，平移后的抛物线顶点仍在线段
BD 上，点 A的对应点为 P．设线段 AB 与x轴的交点为 Q，如果 ADP 与CBQ 相似，
求点 P的坐标．
【来源】专题 19 二次函数（二）（考点专练）-备战 2021 年中考数学考点微专题（上
海专用）
【答案】（1）(0，1)， ；（2）① C(－1，0)，D(6，7)，②
【分析】
（1）将顶点 B和点 A代入解析式计算出系数即可．
（2）①利用二次函数写出点 D的坐标，利用 DH=CH 列方程计算点 D的坐标．
②分类讨论，利用锐角三角函数找到边的关系，找出相似三角形，利用比例关系，计
算出 AP 的长度，再写出点 P的坐标．
【详解】
解：（1）由 y＝ax2＋bx＋1，得 A(0, 1)．
设抛物线的顶点式为 y＝a(x－2)2－1，代入点 A(0, 1)，得 1＝4a－1．
解得 a＝ ．所以抛物线的表达式为 ．
（2）①如图 2，由 A(0, 1)、B(2,－1)，可知 A、B两点间的水平距离、竖直距离都是
2，所以∠OAB＝45°．
如果点 C在x轴上，且∠CAB＝90°，那么∠CAO＝45°．所以 C(－1, 0)．
设D．作 DH⊥x轴于 H．
由DH＝CH，得 ．
解得 x＝6，或 x＝0（与点 A重合，舍去）．所以 D(6, 7)．
②如图 2，在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝ ＝ ，AB 与x轴交于点 Q(1, 0)．
由A(0, 1)、D(6, 7)，可知∠EAD＝45°，AD＝ ．
如图 3，作 PE⊥y轴于 E．
过点 B作x轴的平行线，过点 D作y轴的平行线，两条直线交于点 F．
由B(2,－1)、D(6, 7)，得 tan∠BDF＝ ＝ ．所以∠ABC＝∠BDF．
由AP//BD，可得∠EAP＝∠BDF．
所以∠EAP＝∠ABC．
又因为∠EAP＋∠PAD＝45°，∠ABC＋∠BCQ＝45°，所以∠PAD＝∠BCQ．
因为△ADP 与△CBQ 相似．
①当 时， ．解得 ．
此时 PE＝ ，AE＝2PE＝ ．所以 P．
②当 时， ．解得 ．
此时 PE＝6，AE＝2PE＝12．所以 P(6, 13)．但此时平移后的抛物线的顶点已经不在线
段BD 上了．
综上所述，点 P的坐标为 ．
【点睛】
本题考查相似三角形、锐角三角函数、二次函数．灵活使用相似三角形的判定是难点．
3．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣
3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y0 ? ﹤
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？
若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【来源】专题 19 二次函数（二）（考点专练）-备战 2021 年中考数学考点微专题（上
海专用）
【答案】（1） ， 或 ；（2）P；（3）
【分析】
（1）将点 A（﹣3，0），B（1，0）带入 y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即
可得出函数解析式；又从图像可以看出 x 满足什么值时 y0﹤；
（2）设出 P点坐标 ，利用割补法将△ACP 面积转化为
，带入各个三角形面积算法可得出 与 m之间的
函数关系，分析即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是 CM 平行于 x轴，另一种是 CM 不平行于 x轴，画出点
Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点 Q坐标的方程，解出即可得到 Q点
坐标.
【详解】
解：（1）将 A（﹣3，0），B（1，0）两点带入 y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为 .
由图像可知，当 或 时 y0﹤；
综上：二次函数解析式为 ，当 或 时 y0﹤；
（2）设点 P坐标为 ，如图连接 PO，作 PM x⊥轴于 M，PN y⊥
轴于 N.
PM= ，PN= ，AO=3.
当 时， ，所以 OC=2
，
∵
∴函数 有最大值，
当 时， 有最大值，
此时 ；
所以存在点 ，使△ACP 面积最大.
（3）存在，
假设存在点 Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM 平行于 x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 =
CM x∵ ∥ 轴，
∴点M、点 C（0,2）关于对称轴 对称，
M∴（﹣2,2），
CM=2.∴
由=；
②若CM 不平行于 x轴，如下图，过点 M作MG x⊥轴于点 G，
摘要：

专题08二次函数综合压轴题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知抛物线经过点，与轴交于点，点是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上一点，点F是抛物线上一点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标．【来源】专题19二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）【答案】（1），对称轴为直线；（2）；（3）点的坐标为或或或．【分析】（1）根据点A...

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