【沪教版数学9年级上】 习题试卷-24.10相似三角形的应用大题专练30题（重难点培优）（解析版）【沪教版】

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3.0 李江 2024-09-29 5 4 331.89KB 32 页 5积分
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2021-2022 学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 24.10 相似三角形的应用大题专练 30 题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共 30 小题）
1．（2020 秋•松江区期中）△ABC 是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加
工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
【分析】由勾股定理求得 AB，所截的正方形的边在△ABC 的直角边上，如图 1，设正方形 CDEF 边长
为x，则 DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得 x
¿24
7
cm；当所截的正方形的边在△ABC 的斜边上，如图 2，作 CH⊥AB 于H，交 MQ 于J，先利用面积法计
算出 CH
¿24
5
cm，设正方形 MNPQ 边长为 x，则 QM＝x，CJ
¿24
5−
x，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相
似比计算出 x
¿120
37
cm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．
【解析】当所截的正 方形的边在△ ABC 的直角边上，如图 1，设正方形 CDEF 边长为 x，则 DE＝
xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴
DE
AC =BD
BC
，即
x
8=6− x
6
，
解得：x
（cm），
即正方形 BDEF 边长为
24
7
cm；
当所截的正方形的边在△ABC 的斜边上，如图 2，作 CH⊥AB 于H，交 MQ 于J，
则MN∥CH，
AB
¿
√
A C2+BC2=
√
82+62=¿
10，
∵
1
2
CH•AB
¿1
2
AC•BC
∴CH
¿8×6
10 =24
5
（cm），
设正方形 MNPQ 边长为 x，则 QM＝x，CJ
¿24
5−
x，
∵QM∥AB，
∴△CMQ∽△CBA，
∴
QM
AB =CJ
CH
，即
x
10 =
24
5− x
24
5
，
解得：x
¿120
37
（cm），
即正方形 BDEF 边长为
120
37
（cm）；
∵
24
7=120
35 ＞120
37
，
∴图1利用率高．
2．（2019 秋•奉贤区期末）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 CD 垂直于水平地面 GQ，当点
P与点 A重合时，伞收紧；当点 P由点 A向点 B移动时，伞慢慢撑开；当点 P与点 B重合时，伞完全张
开．已知遮阳伞的高度 CD 是220 厘米，在它撑开的过程中，总有 PM＝PN＝CM＝CN＝50 厘米，CE＝
CF＝120 厘米，BC＝20 厘米．
（1）当∠CPN＝53°，求 BP 的长？
（2）如图，当伞完全张开时，求点 E到地面 GQ 的距离．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【分析】（1）如图 1中，连接 MN 交CD 于H．解直角三角形求出 CH，PC 即可解决问题．
（2）如图 2中，连接 MN 交CD 于J，连接 EF 交CD 于H．利用相似三角形的性质求出 CH，HD，即可
解决问题．
【解析】（1）如图 1中，连接 MN 交CD 于H．
∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，
∴四边形 PMCN 是菱形，
∴CP⊥NM，CH＝PH，
∴PH＝PN•cos53°≈30（cm），
∴PC＝2PH＝60cm，
∴PB＝PC﹣BC＝40cm．
（2）如图 2中，连接 MN 交CD 于J，连接 EF 交CD 于H．
∵四边形 CMBN 是菱形，
∴CJ＝JB＝10cm，
∵MJ∥EH，
∴△CMJ∽△CEH，
∴
CM
CE =CJ
CH
，
∴
50
120 =10
CH
，
∴CH＝24，
∴HD＝CD﹣CH＝220 24﹣＝196cm，
∴当伞完全张开时，求点 E到地面 GQ 的距离＝HD＝196cm．
3．（2019 秋•嘉定区期末）已知不等臂跷跷板 AB 长为 3米．跷跷板 AB 的支撑点 O到地面的点 H的距离
OH＝0.6 米．当跷跷板 AB 的一个端点 A碰到地面时（如图 1），AB 与直线 AH 的夹角∠OAH 的度数为
30°．
（1）当 AB 的另一个端点 B碰到地面时（如图 2），跷跷板 AB 与直线 BH 的夹角∠ABH 的正弦值是多
少？
（2）当 AB 的另一个端点 B碰到地面时（如图 2），点 A到直线 BH 的距离是多少米？
摘要：

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.10相似三角形的应用大题专练30题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020秋•松江区期中）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）【分析】由勾股定理求...

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