【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题11 图形的位似变换（9大题型）（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 5 4 5.17MB 74 页 5积分
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专题 11 图形的位似变换（9大题型）
【题型目录】
题型一 位似图形的识别
题型二 判断位似中心
题型三 位似图形相关概念辨析
题型四 求两个位似图形的相似比
题型五 画已知图形放大或缩小 n倍后的位似图形
题型六 求位似图形的对应坐标
题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
题型八 在坐标系中话位似图形
题型九 在坐标系中画位似中心
【知识梳理】
知识点、位似图形
定义
两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的
两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
画位似图形
的步骤
（1）确定位似中心；
（2）连结原图形中关键点与位似中心的线段（或延长线）；
（3）按相似比进行取点；
（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形。
【经典例题一 位似图形的识别】
1．（2023 春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，在 外任取一点 ，连接 、
、 ，并分别取它们的中点 、 、 ，顺次连接 、 、 得到 ，则下列说法错误的
是（）

A． 与 是位似图形 B． 与 是相似图形
C． 与 的周长比是 D． 与 的面积比是
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质得出 与 是位似图形，根据位似图形一定是相似图形得出
与 是相似图形，再根据周长比等于位似比以及根据面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：根据位似性质可得：
A、 与 是位似图形，故 A选项正确，不符合题意；
B、 与 是相似图形，故 B选项正确，不符合题意；
C、∵点 D，E，F，为 中点，
∴将 的三边缩小到原来的 得到 ，
∴与 的周长之比为 2：1，故 C选项不正确，符合题意；
D、∵面积比等于相似比的平方，
∴与 的面积之比为 4：1，故 D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
2．（2023·河北保定·校考一模）如图， 与 都是等边三角形，固定 ，将 从图示位
置绕点 逆时针旋转一周，在 旋转的过程中，下列说法正确的是（）
A． 总与 位似
B． 与 不会位似
C．当点 落在 上时， 与 位似
D．存在 的两个位置使得 与 位似
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义判断即可．
【详解】 与 都是等边三角形，
总与 相似．
在 旋转的过程中，只有当点 落在线段 和线段 的延长线上， 和 相交于点 ，
在 旋转的过程中，只有当点 落在线段 和线段 的延长线上， 与 位似．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的定义，熟练掌握位似图形的定义是解本题的关键．
3．（2023 春·河北衡水·九年级校考阶段练习）下图是用 12 个相似的直角三角形组成的图案.

（1）与 位似的三角形是；
（2）已知 的面积是 3，则 的面积为．
【答案】 4
【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答；
（2）先说明 ，设 ，则 、 ，由 可得 ；再设
，则 、 ，即 ，然后运用三角形面积公式即可解答．
【详解】解：∵在 和 中，
∴，
∴，
故答案为 ．
12∵个相似的直角三角形，
∴,
∴，
设 ，则 、 ，
∵
∴
再设 ，则 、 ，
∴，即
∴
故答案为 4．
【点睛】本题主要考查了位似的判定、直角三角形的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关
知识成为解答本题的关键
4．（2023 秋·河北保定·九年级统考期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻
灯片上的图形 放大到屏幕上．若幻灯片中图形 到镜头 的距离为 ，到屏幕的距离为 ，
且幻灯片中图形 的高度为 ．
（1）与；（填“位似”或“不位似”）
（2）屏幕图形 的高度为 ．
【答案】 位似
【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，过点 作于点 ，线段 的延长线交 与点 ，再根据相似三角
形的性质即可求出答案．
【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知：
，
，
与 位似．
故答案为：位似．
（2）过点 作于点 ，线段 的延长线交 与点 ，
， ，
，
由题意： ， ， ，
由（1）得 ，
，
， ， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解
本题的关键．
5．（2023 春·山东菏泽·八年级校考期末）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或
缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自
位似轴对称．例如：如图 1，先将 以点 A为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点 A的直
线l翻折，得到 ，则 和 成自位似轴对称．
(1)如图 2，在 中， ， ， ，垂足为D．下列 3对三角形：①和
；②和 ；③和 ．其中成自位似轴对称的是 　　；（填写所有符合要求
的序号）
(2)如图 3，在 中， 是 的中点， 为 内一点， ， ，连接 ，
求证： ．
【答案】(1)①②
(2)见解析
【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做
轴对称前后三角形位似；
（2）延长 ，交 于 ，得出 ，利用三角形的外角定理得出 ，两次相似
得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
【详解】（1）解：如图 1，2中：可知 和 ； 和 是成自位似轴对称．
故答案为：①②；
（2）证明：如图，
延长 ，交 于 ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
点 是 的中点，
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形、三角形中位线定理等知识，
其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点．
【经典例题二 判断位似中心】
1．（2023 秋·九年级课时练习）如图，点 是等边三角形 的中心， 、 、 分别是 、 、
的中点，则 与 是位似三角形，此时 与 的位似比、位似中心分别是（）

A．2、点 B． 、点 C．2、点 D． 、点
【答案】D
【分析】一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点：这个交点到
两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似
中心．位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，位似比等于相似比．因而位似中心是点 ，
与 位似比是 ．
【详解】 点 是等边三角形 的中心， 、 、 分别是 、 、 的中点，
各对应点的连线交于点 ，
位似中心是点 ，
与 是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
与 位似比是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，理解掌握位似中心和位似比的定义是解题的关键．
2．（2023 春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图，正方形 和正方形 是位似图形，且点D
与点 G是一对对应点，点 ，点 ，则它们位似中心的坐标是（）
摘要：

专题11图形的位似变换（9大题型）【题型目录】题型一位似图形的识别题型二判断位似中心题型三位似图形相关概念辨析题型四求两个位似图形的相似比题型五画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形题型六求位似图形的对应坐标题型七在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比题型八在坐标系中话位似图形题型九在坐标系中画位似中心【知识梳理】知识点、位似图形定义两个相似图形，如果对应点的连线交于同一点，对应边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）连结原图...

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