【沪教版数学9年级上】习题试卷-专题24 相似三角形压轴题（50题）解答题专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-30 4 4 3.49MB 134 页 5积分

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专题 24 相似三角形压轴题（50 题）解答题专练

一、解答题

1．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将

沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点 F处．延长

相交于点 G，连接．

（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；

（2）若，求的值；

（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．

2．如图 1，正方形的边长为 5，点 E、F分别是边、上一点，且四边

形为边长为 2的正方形，连接．

（1）在图 1中，求的值；

（2）将图 1中的正方形绕点 B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，

请利用图 2求出该值；若变化请说明理由；

（3）当正方形旋转至 D，G，E三点共线时，求的长．

3．如图①，在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=3，点 E是边 AD 靠近 A的三等分点，

点P是BC 延长线上一点，且 EP EB⊥，点 G是BE 上任意一点，过 G作GH BP∥，交

EP 于点 H．将△EGH 绕点 E逆时针旋转 α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别

是G、H的对应点）．

（1）求 BP 的长；

（2）求的值；

（3）如图②当 α=60°时，点 M恰好落在 GH 上，延长 BM 交NP 于点 Q，取 EP 的中点

K，连接 QK．若点 G在线段 EB 上运动，问 QK 是否有最小值？若有最小值，请求出

点G运动到 EB 的什么位置时，QK 有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明

理由．

4．如图，在中，，，，为底边上一动

点，连接，以为斜边向左上方作等腰直角，连接．

观察猜想：

（1）当点落在线段上时，直接写出，的数量关系： _______ ．

类比探究：

（2）如图 2，当点在线段上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：

（3）在点运动过程中，当时，请直接写出线段的长．

5．如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，

且＝．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，

在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时

点的坐标；

（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的

一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若

存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．正方形中，是中点，点从点出发沿的路线匀速

运动，到点停止，点从点出发，沿路线匀速运动，、两点

同时出发，点的速度是点速度的倍，当点停止时，点也同时停止

运动，设秒时，正方形与重叠部分的面积为，关于的函数关系

如图 2所示，则

（1）求正方形边长；

（2）求的值；

（3）求图 2中线段所在直线的解析式.

7．如图，，点为内的一个动点，过点作与，

使得，分别交、于点、 .

（1）求证：；

（2）连接，若，试求的值；

（3）记，，，若，，且、、为

整数，求、、的值.

8．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，E是AD 上的一点，且 AE＝2DE，连接 BE 并延

长交 AC 于点 F.

(1)求证：AF＝FC；

(2)求的值．

9．如图，在直角梯形 ABCD 中， AB DC∥， ∠ D=90o，

AC BC⊥，AB=10cm,BC=6cm，

（1）求证：△ACD BAC∽△ ；

（2）求 DC 的长；

10．（1）如图①，P为△ABC 的边 AB 上一点（P不与点 A、点 B重合），连接 PC，

如果△CBP ABC∽△ ，那么就称 P为△ABC 的边 AB 上的相似点．

画法初探

①如图②，在△ABC 中，∠ACB＞90°，画出△ABC 的边 AB 上的相似点 P（画图工

具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

辩证思考

②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，

请找出一个不存在边上相似点的三角形；

特例分析

③已知 P为△ABC 的边 AB 上的相似点，连接 PC，若△ACP ABC∽△ ，则△ABC 的形

状是；

④如图③，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边 AB 上的相似点，求的值．

（2）在矩形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB 上的点（P不与点 A、点 B

重合），作 PQ CD⊥，垂足为 Q．如果矩形 ADQP∽矩形 ABCD，那么就称 PQ 为矩形

ABCD 的边 AB、CD 上的相似线．

①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形 ABCD，在不限制

画图工具的前提下，如何画出它的边 AB、CD 上的相似线 PQ 呢？

你的解答是：（只需描述 PQ 的画法，不需在图上画出 PQ）．

②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行

研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

11．如图，四边形 ABCD 为正方形，E为对角线 BD 上的动点，过点 E作

FG AE⊥，FG 交射线 CD 于F，交射线 CB 于G．

（1）求证：EF=EG

（2）求证：

（3）若 AB=4，当∠GEB=22.5°，直接写出 CF 的长．

12．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，

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摘要：

专题24相似三角形压轴题（50题）解答题专练一、解答题1．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．2．如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接．（1）在图1中，求的值；（2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；（3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长．3．如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点...

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