【沪教版数学9年级上】 习题试卷-专题24 相似三角形压轴题（50题）解答题专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-30 4 4 3.49MB 134 页 5积分
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专题 24 相似三角形压轴题（50 题）解答题专练
一、解答题
1．已知：如图，在四边形 中，E是边 的中点，连接 ．将
沿直线 折叠，将 沿直线 折叠，点 同时落在 边上点 F处．延长
相交于点 G，连接 ．
（1）填空：直线 与直线 的位置关系是_______；
（2）若 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 与 相似，求 的长．
2．如图 1，正方形 的边长为 5，点 E、F分别是边 、 上一点，且四边
形 为边长为 2的正方形，连接 ．
（1）在图 1中，求 的值；
（2）将图 1中的正方形 绕点 B旋转一周，探究 的值是否变化？若不变，
请利用图 2求出该值；若变化请说明理由；
（3）当正方形 旋转至 D，G，E三点共线时，求 的长．
3．如图①，在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=3，点 E是边 AD 靠近 A的三等分点，
点P是BC 延长线上一点，且 EP EB⊥，点 G是BE 上任意一点，过 G作GH BP∥，交
EP 于点 H．将△EGH 绕点 E逆时针旋转 α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别
是G、H的对应点）．
（1）求 BP 的长；
（2）求 的值；
（3）如图②当 α=60°时，点 M恰好落在 GH 上，延长 BM 交NP 于点 Q，取 EP 的中点
K，连接 QK．若点 G在线段 EB 上运动，问 QK 是否有最小值？若有最小值，请求出
点G运动到 EB 的什么位置时，QK 有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明
理由．
4．如图，在 中， ， ， ， 为底边 上一动
点，连接 ，以 为斜边向左上方作等腰直角 ，连接 ．
观察猜想：
（1）当点 落在线段 上时，直接写出 ， 的数量关系： _______ ．
类比探究：
（2）如图 2，当点 在线段 上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：
（3）在点 运动过程中，当 时，请直接写出线段 的长．
5．如图 ，已知抛物线 ＝ 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
且 ＝ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 是线段 上的一个动点（不与 、 重合），分别以 、 为一边，
在直线 的同侧作等边三角形 和 ，求 的最大面积，并写出此时
点 的坐标；
（3）如图 ，若抛物线的对称轴与 轴交于点 ， 是抛物线上位于对称轴右侧的
一个动点，直线 与 轴交于点 ．是否存在点 ，使 与 相似？若
存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．正方形 中， 是 中点，点 从点 出发沿 的路线匀速
运动，到点 停止，点 从点 出发，沿 路线匀速运动， 、 两点
同时出发，点 的速度是点 速度的 倍 ，当点 停止时，点 也同时停止
运动，设 秒时，正方形 与 重叠部分的面积为 ， 关于 的函数关系
如图 2所示，则
（1）求正方形边长 ；
（2）求 的值；
（3）求图 2中线段 所在直线的解析式.
7．如图， ，点 为 内的一个动点，过点 作 与 ，
使得 ，分别交 、 于点 、 .
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，试求 的值；
（3）记 ， ， ，若 ， ，且 、 、 为
整数，求 、 、 的值.
8．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，E是AD 上的一点，且 AE＝2DE，连接 BE 并延
长交 AC 于点 F.
(1)求证：AF＝FC；
(2)求 的值．
9．如图，在直角梯形 ABCD 中 ， AB DC∥， ∠ D=90o，
AC BC⊥，AB=10cm,BC=6cm，
（1）求证：△ACD BAC∽△ ；
（2）求 DC 的长；
10．（1）如图①，P为△ABC 的边 AB 上一点（P不与点 A、点 B重合），连接 PC，
如果△CBP ABC∽△ ，那么就称 P为△ABC 的边 AB 上的相似点．
画法初探
①如图②，在△ABC 中，∠ACB＞90°，画出△ABC 的边 AB 上的相似点 P（画图工
具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；
辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，
请找出一个不存在边上相似点的三角形；
特例分析
③已知 P为△ABC 的边 AB 上的相似点，连接 PC，若△ACP ABC∽△ ，则△ABC 的形
状是 ；
④如图③，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边 AB 上的相似点，求的值．
（2）在矩形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB 上的点（P不与点 A、点 B
重合），作 PQ CD⊥，垂足为 Q．如果矩形 ADQP∽矩形 ABCD，那么就称 PQ 为矩形
ABCD 的边 AB、CD 上的相似线．
①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形 ABCD，在不限制
画图工具的前提下，如何画出它的边 AB、CD 上的相似线 PQ 呢？
你的解答是： （只需描述 PQ 的画法，不需在图上画出 PQ）．
②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行
研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．
11．如图，四边形 ABCD 为正方形，E为对角线 BD 上的动点，过点 E作
FG AE⊥，FG 交射线 CD 于F，交射线 CB 于G．
（1）求证：EF=EG
（2）求证：
（3）若 AB=4，当∠GEB=22.5°，直接写出 CF 的长．
12．已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴相交于点 ，
摘要：

专题24相似三角形压轴题（50题）解答题专练一、解答题1．已知：如图，在四边形中，E是边的中点，连接．将沿直线折叠，将沿直线折叠，点同时落在边上点F处．延长相交于点G，连接．（1）填空：直线与直线的位置关系是_______；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若与相似，求的长．2．如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接．（1）在图1中，求的值；（2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；（3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长．3．如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点...

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