【沪教版数学8年级下】 知识总结-第05讲二元二次方程组与列方程（组）解应用题（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 7 4 472.86KB 36 页 5积分
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第 05 讲二元二次方程组与列方程（组）解应用题
（核心考点讲与练）
一．二元二次方程组
二元二次方程组．
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元
二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，
因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法．
一般解法：
二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将 y作常量，把（1）看作关于 x的一元二次
方程，用 y表示 x后，代入（2）中，得到关于 y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到 y
是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能
得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出 x，再根据（3）解出 y．
二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解
无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法．
二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程
的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为 a，十位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，
则第一次增长后为 a（1+x）；第二次增长后为 a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来
数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩
形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三
角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成
直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
三．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于 2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转
化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于 5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四
则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次
方程可用根式求解．
四．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相
遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
五．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要
写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工
作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
一．高次方程（共14 小题）
1．（2021 春•虹口区期末）方程 x416﹣＝0的实数根是 　 x ＝ 2
或
x ＝﹣ 2 　 ．
【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．
【解答】解：由 x416﹣＝0得（x2+4）（x24﹣）＝0，
∴x2+4＝0或x24﹣＝0，
而x2+4＝0无实数解，
解x24﹣＝0得x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
【点评】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化
为一元二次方程．
2．（2021 春•长宁区期末）解方程组： ．
【分析】由①得y＝﹣3﹣x③，把③代入②得关于 x的一元二次方程，可解得 x的值，即可
求出原方程组的解．
【解答】解：由①得：y＝﹣3﹣x③，
把③代入②得：x2+x（﹣3﹣x）﹣6（﹣3﹣x）2＝0，
整理得：2x2+13x+18＝0，
解得 x1＝﹣，x2＝﹣2，
当x1＝﹣时，y＝﹣3﹣x＝ ，
当x2＝﹣2时，y＝﹣3﹣x＝﹣1，
∴原方程组的解为： ， ．
【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化
为一元二次方程．
3．（2021 春•崇明区期末）解方程组： ．
【分析】由x+2y＝3得x＝3 2﹣y，代入 x24﹣xy+4y2＝1，可得关于 y的一元二次方程，即可解
得原方程组的解．
【解答】解： ，
由①得：x＝3 2﹣y③，
把③代入②得：（3 2﹣y）24﹣（3 2﹣y）•y+4y2＝1，
整理得：2y23﹣y+1＝0，
解得 y1＝1，y2＝ ，
当y1＝1时，x＝3 2﹣y＝1，
当y2＝ 时，x＝3 2﹣y＝2，
∴方程组的解为： 或 ．
【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化
为一元二次方程．
4．（2020 春•杨浦区期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　）
A．B．
C．D．
【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论．
【解答】解：选项 A符合二元二次方程组的概念；选项 B含分式方程，选项 D含无理方程，
故B、C都不是二元二次方程组；
选项 C是二元一次方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键．
5．（2020 春•金山区期中）下列方程是二项方程的是（　　）
A．x3+8＝0 B．x4+x＝0 C．x3+x＝1 D．﹣1＝0
【分析】根据两项方程的定义直接判断得结论
【解答】解：B中两项都含有未知数，不符合二项方程的定义，
C有三项，不具备二项方程的条件，
D不是整式方程，不具备二项方程的条件，
只有 A符合二项方程的条件．
故选：A．
【点评】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下几个基本条件：（1）整式方程，
（2）方程共两项，（3）两项中一项含有未知数，一项是常数项．
6．（2021 春•长宁区期末）方程 x4+2x23﹣＝0的实数根是 　 x ＝ 1
或
x ＝﹣ 1 　 ．
【分析】用换元法，设 y＝x2，将原方程转化为关于 y的一元二次方程，解得 y，即可求出原
方程的实数根．
【解答】解：设 y＝x2，则原方程变为：y2+2y3﹣＝0，
解y2+2y3﹣＝0得y1＝﹣3，y2＝1，
当y1＝﹣3时，x2＝﹣3，无实数根，
当y2＝1时，x2＝1，解得 x1＝1，x2＝﹣1，
∴方程 x4+2x23﹣＝0的实数根是 x＝1或x＝﹣1．
故答案为：x＝1或x＝﹣1．
【点评】本题考查解高次方程和解一元二次方程，解题的关键是用代入法把原方程转化为一
元二次方程．
7．（2021 春•浦东新区期末）若关于 x和y的二元二次方程 x2+my＝1有一个解是 ，则字
母m的值为　 3 　 ．
摘要：

第05讲二元二次方程组与列方程（组）解应用题（核心考点讲与练）一．二元二次方程组二元二次方程组．二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法．一般解法：二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最...

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